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Originaire de Mayenne, Eliott Boulet est le fils de l'ancien cycliste amateur Mickaël Boulet. Son frère Enzo a quant à lui été membre de l'équipe CIC U Nantes Atlantique,. Tout comme ses aînés, il pratique le vélo depuis son plus jeune âge. Sa carrière sportive débute au Cyclo-Club Ernéen. Il poursuit ensuite sa progression à l'UC Entrammes Parné Forcé, puis au CC Plancoët.
En 2022, il se fait remarquer dans les rangs cadets en obtenant dix-neuf victoires et une multitude de podiums. Il devient notamment double champion de Bretagne, dans la course en ligne et le contre-la-montre. Grâce à ses bons résultats, il est repéré par l'équipe continentale de Groupama-FDJ, qui lui propose un suivi et un soutien logistique. Il commence aussi à être entraîné par Benoît Vaugrenard,.
Lors de la saison 2023, il est sacré champion régional et champion de France du contre-la-montre juniors,. Il s'impose également à deux reprises dans des épreuves fédérales. Au niveau international, il se classe deuxième du Keizer der Juniores, cinquième de la Ronde des Vallées et dixième du Trophée Centre Morbihan. Il participe aussi aux championnats d'Europe juniors, qui ont lieu dans la province de Drenthe. Sous les couleurs de l'équipe de France, il décroche la médaille de bronze dans le contre-la-montre en relais.
En 2024, il confirme ses aptitudes en étant l'un des meilleurs juniors français. Toujours performant dans les contre-la-montre, il remporte l'épreuve chronométrée de la Penn Ar Bed-Pays d’Iroise ainsi que plusieurs courses au niveau fédéral. Il finit également deuxième du Trophée Centre Morbihan, troisième du Tour du Bocage et de l'Ernée 53, quatrième de la Nokere Koerse juniors ou encore huitième de la Ronde des Vallées, tout en ayant gagné la première étape.
Au mois de , l'équipe continentale de Groupama-FDJ annonce son arrivée dans l'effectif pour les deux prochaines saisons.
Il gagne la troisième étape du Tour de Bretagne au printemps 2025
Au cours de l'année 2026, il remporte deux épreuves du Circuit des plages vendéennes et le Youngster Coast Challenge. Il obtient également quelques accessits et se classe notamment deuxième d'une étape de la Ronde de l'Isard et dixième du Tour de Bretagne remporté par Aubin Sparfel. En septembre, la presse spécialisée annonce que le jeune coureur français quitte l'équipe Groupama-FDJ United avec effet immédiat et s'engage avec le VC Rouen 76.
Pour sa première course sous ses nouvelles couleurs, il se classe deuxième de Paris-Chalette-Vierzon derrière l'ancien professionnel Nolann Mahoudo.
| 2025 | 2026 | |
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| Classement mondial | 1334e | 1374e |
| UCI Europe Tour | 882e | 940e |
| Légende : nc = non classéSource : UCI | ||