Ensemble parfait

Dans un espace topologique, un ensemble parfait est une partie fermée sans point isolé, ou de façon équivalente, une partie égale à son ensemble dérivé, c'est-à-dire à l'ensemble de ses « points limites », ou « points d'accumulation ».

Exemples

L'ensemble vide est parfait dans tout espace.

Dans ℝ, un segment [a, b] est un exemple simple d'ensemble parfait.

Un exemple moins évident est constitué par l'ensemble de Cantor. Cet ensemble est totalement discontinu et homéomorphe à l'espace de Cantor ${0, 1}^{ℕ}$ . Plus généralement, l'espace produit ${0, 1} I$ est parfait lorsque $I$ est un ensemble infini. Un exemple d'ensemble parfait dans le plan, homéomorphe également à l'ensemble de Cantor, est l'ensemble ${\sum_{n \in E} a_{n} | E \subset ℕ}$ où $\sum a_{n}$ est une série absolument convergente de complexes telle que pour tout $N$ , $\sum_{n > N} | a_{n} | < | a_{N} |$ .

Dans ℝⁿ, on peut engendrer des ensembles parfaits de la façon suivante. Si $P^{0}$ est une partie fermée, on définit le dérivé $P^{'} = P^{1}$ de $P^{0}$ comme l'ensemble des points d'accumulation de $P^{0}$ . Pour tout ordinal $α$ , on pose $P^{α + 1} = (P^{α})^{'}$ et, si $α$ est un ordinal limite, $P^{α} = \cap_{β < α} P^{β}$ . Si $ω_{1}$ désigne le premier ordinal non dénombrable, on montre que :

Ou bien $P^{ω_{1}} = \emptyset$ . On dit que $P^{0}$ est réductible ;
Ou bien $P^{ω_{1}} \neq \emptyset$ et c'est un ensemble parfait. $P^{0}$ est la réunion de cet ensemble parfait et d'un ensemble dénombrable.

Propriétés

Un ensemble parfait non vide de ℝ ou ℝⁿ n'est pas dénombrable. Plus généralement et plus précisément :

tout espace complètement métrisable parfait non vide contient un sous-espace homéomorphe à l'espace de Cantor^, ;
tout espace localement compact parfait non vide contient un sous-ensemble équipotent à l'espace de Cantor.

Dans les deux cas, l'espace considéré a donc au moins la puissance du continu.

Toute partie fermée de ℝ (ou plus généralement : d'un espace polonais) est, de façon unique, réunion disjointe d'une partie dénombrable et d'un ensemble parfait : voir Théorème de Cantor-Bendixson.

Notes et références

↑ René Baire, Leçons sur les fonctions discontinues, Jacques Gabay, 1995 (1^re éd. 1905, Gauthier-Villars), p. 54-57.
↑ Jean-Marie Arnaudiès, L'Intégrale de Lebesgue sur la droite, Vuibert, 1997, p. 18-20.
↑ Baire 1995, p. 64-68.
↑ Baire 1995, p. 61.
↑ (en) Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, 1976, 3^e éd. (1^re éd. 1953) (lire en ligne), p. 41.
↑ (en) Arlen Brown et Carl Pearcy, Introduction to Operator Theory I: Elements of Functional Analysis, coll. « GTM » (n^o 55), 2012 (lire en ligne), p. 68.
↑ (en) Vladimir I. Bogachev, Measure Theory, vol. 1, Springer, 2007 (lire en ligne), p. 8.
↑ (en) « Cardinality of a locally compact Hausdorff space without isolated points », sur Mathematics Stack Exchange, 2013.

Articles connexes

Propriété d'ensemble parfait

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[1] René Baire, Leçons sur les fonctions discontinues, Jacques Gabay, 1995 (1^re éd. 1905, Gauthier-Villars), p. 54-57.

[2] Jean-Marie Arnaudiès, L'Intégrale de Lebesgue sur la droite, Vuibert, 1997, p. 18-20.

[3] Baire 1995, p. 64-68.

[4] Baire 1995, p. 61.

[5] (en) Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, 1976, 3^e éd. (1^re éd. 1953) (lire en ligne), p. 41.

[6] (en) Arlen Brown et Carl Pearcy, Introduction to Operator Theory I: Elements of Functional Analysis, coll. « GTM » (n^o 55), 2012 (lire en ligne), p. 68.

[7] (en) Vladimir I. Bogachev, Measure Theory, vol. 1, Springer, 2007 (lire en ligne), p. 8.

[8] (en) « Cardinality of a locally compact Hausdorff space without isolated points », sur Mathematics Stack Exchange, 2013.