Ensemble rectifiable

En mathématiques, un ensemble rectifiable est une généralisation pluridimensionnelle de courbe rectifiable. Ce sont les objets différentiels de la théorie géométrique de la mesure, fondée par Herbert Federer.

Définitions

Une partie ${\displaystyle A}$ de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ est m-rectifiable s'il existe une famille dénombrable d'applications ${\displaystyle f_{i}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$ de classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$ telle que

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}\left(A\setminus \bigcup _{i}f_{i}(\mathbb {R} ^{m})\right)=0~,}$

où ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$ est la mesure de Hausdorff de dimension ${\displaystyle m}$.

${\displaystyle A}$ est purement non m-rectifiable si pour toute application ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$ de classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$,

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}\left(A\cap f(\mathbb {R} ^{m})\right)=0~.}$

On obtient des définitions équivalentes en remplaçant ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$ par application lipschitzienne.

Propriétés

• Un exemple de partie purement non 1-rectifiable de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ est le produit de l'ensemble de Smith-Volterra-Cantor par lui-même.

• Les parties rectifiables sont une généralisation, du point de vue de la théorie de la mesure, des sous-variétés. Par exemple, on peut définir la notion de sous-espace (de dimension m) presque tangent en un point de A, et montrer que A est m-rectifiable si et seulement si, en ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$-presque chacun de ses points, elle admet un tel sous-espace presque tangent.

• Toute partie de ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$-mesure finie est réunion d'une partie m-rectifiable et d'une partie purement non m-rectifiable (dont l'intersection est nécessairement ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$-négligeable).

• Théorème de projection de Besicovitch-Federer : si une partie A, de ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$-mesure finie, est purement non m-rectifiable, alors pour presque tout sous-espace P de dimension m, le projeté orthogonal de A sur P est ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$-négligeable.

Référence

(en) T.C. O'Neil, « Geometric measure theory », dans Encyclopedia of Mathematics, Springer online (lire en ligne)

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