Entier transposable

Les chiffres de certains entiers spécifiques permutent ou se décalent circulairement quand ils sont multipliés par un nombre n. Voici quelques exemples:

• 142857 × 3 = 428571 (décalage circulaire d'un chiffre à gauche)
• 142857 × 5 = 714285 (décalage circulaire d'un chiffre à droite)
• 128205 × 4 = 512820 (décalage circulaire d'un chiffre à droite)
• 076923 × 9 = 692307 (décalage circulaire de deux chiffres à gauche)

Ces entiers spécifiques, appelés entiers transposables sont parfois des nombres cycliques. On peut caractériser ces nombres en utilisant des développements décimaux périodiques (et donc les fractions liées), ou directement.

Généralités

Pour tout entier premier avec 10, son inverse est un nombre décimal répétitif sans chiffres non récurrents. Par ex. 1/143 = 0,006993006993006993...

L'intention de l'expression ci-dessus est de montrer que les permutations circulaires des six chiffres 006993 peuvent être obtenues à partir de cette décimale récurrente.

Cela montre que les permutations circulaires sont en quelque sorte liées aux décimales répétitives et à leurs fractions correspondantes.

Le plus grand commun diviseur (pgcd) entre toute permutation circulaire d'un nombre entier à m chiffres et 10^m − 1 est constant, ce qui s'exprime formellement par :

${\displaystyle \gcd \left(N,10^{m}-1\right)=\gcd \left(N_{c},10^{m}-1\right),}$

où N est un entier à m-chiffres et N_c est un permuté circulaire quelconque de N.

Par exemple,

  pgcd(091575, 999999) = pgcd(32 × 52 × 11 × 37, 33 × 7 × 11 × 13 × 37)
                       = 3663
                       = pgcd(915750, 999999)
                       = pgcd(157509, 999999)
                       = pgcd(575091, 999999)
                       = pgcd(750915, 999999)
                       = pgcd(509157, 999999)

Si N est un entier à m-chiffres, le nombre N_c, obtenu en permutant cycliquement N à gauche, peut être obtenu depuis:

${\displaystyle N_{c}=10N-d\left(10^{m}-1\right),}$

où d est le premier chiffre N et m est le nombre de chiffres de N.

Ceci explique le pgcd commun au-dessus, et le phénomène est vrai dans toute base si 10 est remplacé par la base b.

Les permutations cycliques sont donc liées aux développement décimaux périodiques, leurs fractions correspondantes, et les diviseurs de 10^m−1. Par exemple les fractions liées aux permutations cycliques ci-dessus sont donc:

• 091575/999999, 915750/999999, 157509/999999, 575091/999999, 750915/999999, et 509157/999999.

Réduits, ils sont égaux à:

• 25/273, 250/273, 43/273, 157/273, 205/273, et 139/273.

Autrement dit, ces fractions lorsque exprimées en fractions irréductibles, ont le même dénominateur. Ceci est vrai pour les permutations cycliques de nombre entier quelconque.

Procédé

Permutation circulaire par multiplication

Une longue division de 1 par 7 donne :

        0,142857...
    7 ) 1,000000
        0,7
          3
          28
           2
           14
            6
            56
             4
             35
              5
              49
               1

Lors de la dernière étape, le 1 réapparaît comme le reste. Les restes cycliques sont {1, 3, 2, 6, 4, 5}. Nous réécrivons les quotients avec les dividendes/restes correspondants à toutes les étapes :

    Dividendes/Restes      1 3 2 6 4 5
    Quotients              1 4 2 8 5 7

et notez aussi que:

• 1/7 = 0,142857...
• 3/7 = 0,428571...
• 2/7 = 0,285714...
• 6/7 = 0,857142...
• 4/7 = 0,571428...
• 5/7 = 0,714285...

En observant les restes de chaque étape, on peut ainsi effectuer une permutation circulaire souhaitée par la multiplication. Par exemple :

• le nombre entier 142857, correspondant au reste 1, permute à 428571 lorsqu'il est multiplié par 3, le reste correspondant de celui-ci ;
• le nombre entier 142857, correspondant au reste 1, permute à 857142 lorsqu'il est multiplié par 6, le reste correspondant de celui-ci.

De cette manière, le décalage cyclique à gauche ou à droite d'un nombre quelconque de positions peut être effectuée.

Décalage circulaire à droite

Un nombre entier X se décale circulairement de deux rangs vers la droite lorsqu'il est multiplié par un entier n. X est alors le développement décimal périodique de 1/F, où F = n × 10² – 1 ou un facteur de celui-ci, mais à l'exception des valeurs pour lesquelles 1/F a une longueur de période divisant 2 ; et F doit être premier avec 10.

Décalage circulaire à gauche

Un nombre entier X se décale circulairement de deux rangs vers la gauche lorsqu'il est multiplié par un entier n. X est alors le développement décimale périodique de 1/F, où F est R> = 10² - n, ou un facteur de R ; à l'exception des valeurs de F pour lesquelles 1/F a une longueur de période divisant 2 et F doit être premier avec 10.

Autres bases

Dans le système duodécimal, les entiers transposables sont (en utilisant les deux et trois inversés pour dix et onze, respectivement) :

Bibliographie

• (en) P. Yiu, Recreational Mathematics, chap.18.1 et 18.2« (k-right-transposable integers, k-left-transposable integers), p. 168-360
• (en) C. A. Pickover, Wonders of Numbers, Oxford University Press, 2000, chap. 28
• Suite  A092697 de l'OEIS : « For 1 ≤ n ≤ 9, a(n) = least number m such that the product n*m is obtained merely by shifting the rightmost digit of m to the left end »
• (en) Marin Gardner, Mathematical Circus: More Puzzles, Games, Paradoxes and Other Mathematical Entertainments From Scientific American, New York, MAA, 1979, p. 111-122
• (en) Dan Kalman, « Fractions with cycling digit patterns », The College Mathematics Journal, vol. 27, n^o 2, 1996, p. 109-115
• (en) John Leslie, The Philosophy of Arithmetic: Exhibiting a Progressive View of the Theory and Practice of ...., Longman, Hurst, Rees, Orme, et Brown, 1820 (ISBN 1-4020-1546-1)
• (en) David Wells, The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, Penguin Press (ISBN 0-14-008029-5)

• Arithmétique et théorie des nombres