Eoghan Barrett fait ses débuts avec l'équipe professionnelle le en Challenge européen. Il entre en jeu à la 48e minute et inscrit le cinquième essai palois face à Calvisano (victoire paloise 47 à 19),.
Il joue son premier match de Top 14 lors du Boxing Day le avec une victoire (29 à 27) face au Stade français Paris. En , il prolonge son contrat espoirs jusqu'en 2023.
En , il participe au Supersevens 2021 avec la Section paloise lors de la première étape à Aix-en-Provence avec une victoire en finale face au Racing 92 sevens (26 à 24). Il participe également aux deux autres étapes à Toulouse et à La Rochelle. Il joue son premier match de la saison 2021-2022 de Top 14 face au Stade toulousain au stade Ernest-Wallon le pour la 6e journée.
Il inscrit son premier essai de la saison 2022-2023 de Top 14 lors de la 6e journée face au Racing 92 en tant que titulaire. En , il se blesse au genou en Challenge européen face aux Dragons RFC et manque plusieurs semaines de compétition.
A l'issue de la saison 2022-2023, il n'est pas conservé par le club béarnais.
Soyaux Angoulême XV Charente (depuis 2023)
En , il s'engage pour deux saisons au Soyaux Angoulême XV Charente en Pro D2. Il dispute son premier match lors de la deuxième journée au Stade Chanzy face au Stade aurillacois en tant que remplaçant (victoire 32 à 17). Il entre en jeu à la 41e minute à la place de Marvin Lestremau (avant de lui relaisser sa place à la 52e minute, puis il entre définitivement en jeu à la 61e minute à la place de Mathis Lafon. Il inscrit son premier essai avec le SA XV le face au RC Vannes (défaite 16 à 28). Il termine sa saison avec 13 matchs disputés et 3 essais inscrits.
Lors de la saison 2024-2025 de Pro D2, il dispute 7 matchs, dont 6 comme titulaire jusqu'à la 14e journée à la mi-, inscrivant deux essais face au Stade niçois rugby et au Stade montois rugby, puis il ne dispute plus un seul match jusqu'en . Il retrouve une feuille de match le après trois mois sans joué face au Stade montois rugby pour le compte de la 24e journée de Pro D2. Lors de la journée suivante face au Stade niçois, il inscrit deux essais dont un après une relance de plus de 100m. Lors du match suivant, il inscrit la première pénalité de sa carrière face à l'US Montauban. Au final, il dispute 11 matchs et inscrit 5 essais pour sa deuxième saison au SA XV. En , il prolonge son contrat pour deux saisons supplémentaires jusqu'en .
Carrière internationale
Eoghan Barrett évolue avec l'équipe d'Irlande des moins de 18 ans de rugby à sept et avec l'équipe d'Irlande des moins de 19 ans.
Irlande à 7 -18
