Espace classifiant

Si ce bandeau n'est plus pertinent, retirez-le. Cliquez ici pour en savoir plus.

Les informations figurant dans cet article ou cette section doivent être reliées aux sources mentionnées dans les sections « Bibliographie », « Sources » ou « Liens externes » (juin 2025).

Vous pouvez améliorer la vérifiabilité en associant ces informations à des références à l'aide d'appels de notes.

En mathématiques, un espace classifiant pour un groupe topologique $G$ est la base d’un fibré principal particulier $E G \to B G$ appelé fibré universel, induisant tous les fibrés ayant ce groupe de structure sur n’importe quel CW-complexe $X$ par image réciproque (pullback).

\begin{matrix} E & \to & E G \\ ↓ & ↓ \\ X & \to & B G \end{matrix}

Dans le cas d’un groupe discret, la définition d’espace classifiant correspond à celle d’un espace d'Eilenberg-MacLane $K(G, 1)$ , c’est-à-dire un espace connexe par arcs dont tous les groupes d'homotopie sont triviaux en dehors du groupe fondamental (lequel est isomorphe à $G$ ).

La notion s’étend avec celle d’espace classifiant d’une catégorie, qui est une réalisation géométrique de son nerf.

Exemples

Le cercle $S^{1}$ est l’espace classfiant pour son groupe d’homotopie $π_{1} (S^{1}) ≅ ℤ$ par le revêtement infini $ℝ \to S^{1}$ . Plus généralement le tore de dimension $n$ est classifiant pour le groupe abélien libre $ℤ^{n}$ .

D’autres espaces sont classifiants pour leur groupe d’homotopie :

les variétés hyperboliques et en particulier les surfaces fermées (compactes et sans bord) connexes de genre strictement supérieur à 1
le bouquet de cercles $⋁_{i = 1}^{n} S^{1}$ pour le groupe libre avec $n$ générateurs.

L’espace ${U C o n f}_{n} (ℝ^{2})$ de configurations non ordonnées de $n$ points dans le plan classifie le groupe de tresses à $n$ brins. Le sous-groupe des tresses pures est classifié par l’espace des configurations ordonnées. En considérant les configurations non ordonnées de points dans l’espace de dimension infinie $ℝ^{\infty}$ , on trouve l’espace classifiant du groupe symétrique : ${U C o n f}_{n} (ℝ^{\infty}) = B Σ_{n}$ .

Le groupe à deux éléments $ℤ / 2 ℤ$ est classifié par l’espace projectif réel infini via son revêtement universel $S^{\infty} \to ℝ P^{\infty}$ .

Le classifiant du groupe orthogonal $O (n)$ des isométrie de $ℝ^{n}$ est la grassmannienne ${G r}_{n}$ , dont les éléments sont les sous-espaces vectoriels de dimension $n$ dans $ℝ^{\infty}$ .

Notes et références

Bibliographie

John Milnor, « Construction of universal bundles », Ann. of Math, vol. 63,‎ 1956, p. 272-284 et 430–436 (lire en ligne, consulté le 12 octobre 2025).
Dale Husemoller, Fibre bundles, New York / London / Sydney, McGraw-Hill, 1966 (OCLC 909937420).

Liens externes

Portail des mathématiques