Extension de groupes

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En mathématiques et plus précisément en théorie des groupes, une extension de groupes est une manière de décrire un groupe en termes de deux groupes « plus petits », par l'un de ses sous-groupes distingués et l'un de ses quotients.

Définition

Une extension d'un groupe ${\displaystyle Q}$ par un groupe ${\displaystyle N}$ est un groupe ${\displaystyle G}$ qui s'insère dans une suite exacte courte de la forme

${\displaystyle 1\to N\to G\to Q\to 1}$.

Autrement dit, le groupe ${\displaystyle G}$ est une extension de ${\displaystyle Q}$ par ${\displaystyle N}$ si ${\displaystyle N}$ est isomorphe à un sous-groupe normal de ${\displaystyle G}$ et ${\displaystyle Q}$ est isomorphe au groupe quotient ${\displaystyle G/N}$.

Propriétés

Une extension

${\displaystyle 1\to N\;{\overset {\iota }{\to }}\;G\;{\overset {\pi }{\to }}\;Q\to 1}$

est dite

• centrale si ${\displaystyle N}$ est inclus dans le centre de ${\displaystyle G}$,
• triviale si ${\displaystyle G}$ est isomorphe au produit direct ${\displaystyle N\times Q}$,
• scindée s'il existe un morphisme de groupes ${\displaystyle s\colon Q\to G}$ vérifiant ${\displaystyle \pi \circ s=\mathrm {id} _{Q}}$. Les extensions scindées de Q par ${\displaystyle N}$ sont celles qui correspondent aux produits semi-directs ${\displaystyle N\rtimes Q}$. Les groupes ${\displaystyle Q}$ dont toutes les extensions sont scindées sont les groupes libres.

Morphisme d'extensions

Étant donné deux extensions de ${\displaystyle Q}$ par ${\displaystyle N}$

${\displaystyle 1\to N\;{\overset {\iota }{\to }}\;G\;{\overset {\pi }{\to }}\;Q\to 1}$

et

${\displaystyle 1\to N\;{\overset {\iota '}{\to }}\;G'\;{\overset {\pi '}{\to }}\;Q\to 1}$,

un morphisme d'extensions de ${\displaystyle G}$ dans ${\displaystyle G'}$ est un morphisme de groupes ${\displaystyle \varphi \colon G\to G'}$ pour lequel le diagramme

${\displaystyle {\begin{matrix}1&\to &N&{\overset {\iota }{\to }}&G&{\overset {\pi }{\to }}&Q&\to &1\\&&\downarrow \operatorname {id} &&\downarrow {\varphi }&&\downarrow \operatorname {id} \\1&\to &N&{\overset {\iota '}{\to }}&G'&{\overset {\pi '}{\to }}&Q&\to &1\end{matrix}}}$

est commutatif, c'est-à-dire vérifiant ${\displaystyle \varphi \circ \iota =\iota '}$ et ${\displaystyle \pi '\circ \varphi =\pi }$. D'après le lemme des cinq, un tel morphisme ${\displaystyle \varphi }$ est toujours un isomorphisme.

Notes et références

Articles connexes

• Extension HNN
• Foncteur Ext
• Homologie des groupes
• Multiplicateur de Schur

• Portail de l’algèbre