Extension de groupes

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En mathématiques et plus précisément en théorie des groupes, une extension de groupes est une manière de décrire un groupe en termes de deux groupes « plus petits », par l'un de ses sous-groupes distingués et l'un de ses quotients.

Définition

Une extension d'un groupe $Q$ par un groupe $N$ est un groupe $G$ qui s'insère dans une suite exacte courte de la forme

1 \to N \to G \to Q \to 1

.

Autrement dit, le groupe $G$ est une extension de $Q$ par $N$ si $N$ est isomorphe à un sous-groupe normal de $G$ et $Q$ est isomorphe au groupe quotient $G / N$ .

Propriétés

Une extension

1 \to N \overset{ι}{\to} G \overset{π}{\to} Q \to 1

est dite

centrale si $N$ est inclus dans le centre de $G$ ,
triviale si $G$ est isomorphe au produit direct $N \times Q$ ,
scindée s'il existe un morphisme de groupes $s : Q \to G$ vérifiant $π \circ s = {i d}_{Q}$ . Les extensions scindées de Q par $N$ sont celles qui correspondent aux produits semi-directs $N ⋊ Q$ . Les groupes $Q$ dont toutes les extensions sont scindées sont les groupes libres.

Morphisme d'extensions

Étant donné deux extensions de $Q$ par $N$

1 \to N \overset{ι}{\to} G \overset{π}{\to} Q \to 1

et

1 \to N \overset{ι^{'}}{\to} G^{'} \overset{π^{'}}{\to} Q \to 1

,

un morphisme d'extensions de $G$ dans $G^{'}$ est un morphisme de groupes $φ : G \to G^{'}$ pour lequel le diagramme

\begin{matrix} 1 & \to & N & \overset{ι}{\to} & G & \overset{π}{\to} & Q & \to & 1 \\ ↓ id & ↓ φ & ↓ id \\ 1 & \to & N & \overset{ι^{'}}{\to} & G^{'} & \overset{π^{'}}{\to} & Q & \to & 1 \end{matrix}

est commutatif, c'est-à-dire vérifiant $φ \circ ι = ι^{'}$ et $π^{'} \circ φ = π$ . D'après le lemme des cinq, un tel morphisme $φ$ est toujours un isomorphisme.

Notes et références

↑
C'est cette convention sur les deux prépositions « de » et « par » qui est choisie dans :
- N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, chap. I, § 6,
- (en) I. Martin Isaacs (en), Finite Group Theory, AMS, 2008 (lire en ligne), p. 66 et
- (de) Otto Schreier, « Über die Erweiterung von Gruppen I », Monatshefte für Mathematik und Physik, vol. 34,‎ 1926, p. 165-180.
Mais d'autres auteurs choisissent la convention inverse, en écrivant qu'alors, G est une extension de N par Q :
- Jean Fresnel, Groupes, Hermann, 2001, p. 19 ;
- (en) William R. Scott, Group Theory, Dover, 1987 (1^re éd. 1964) (lire en ligne), p. 210 ;
- (en) John S. Rose, A Course on Group Theory, Dover, 1994 (réimpr.), p. 202 ;
- (en) Joseph J. Rotman (en), An Introduction to the Theory of Groups, Springer, 1999 (tirage corrigé), 4^e éd. [détail de l’édition] (lire en ligne), p. 154 et
- (en) Derek J. S. Robinson (de), A Course in the Theory of Groups, Springer, coll. « GTM » (n^o 80), 1996, 2^e éd. (lire en ligne), p. 68.
Isaacs (2008), p. 66, souligne que les deux conventions coexistent.
↑ (en) Derek J. S. Robinson, A Course in the Theory of Groups, Springer, coll. « GTM » (n^o 80), 1993 (lire en ligne), p. 312, exercice 11.1.3.

Articles connexes

Portail de l’algèbre

[1] C'est cette convention sur les deux prépositions « de » et « par » qui est choisie dans :
N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, chap. I, § 6,

(en) I. Martin Isaacs (en), Finite Group Theory, AMS, 2008 (lire en ligne), p. 66 et

(de) Otto Schreier, « Über die Erweiterung von Gruppen I », Monatshefte für Mathematik und Physik, vol. 34,‎ 1926, p. 165-180.
Mais d'autres auteurs choisissent la convention inverse, en écrivant qu'alors, G est une extension de N par Q :
Jean Fresnel, Groupes, Hermann, 2001, p. 19 ;

(en) William R. Scott, Group Theory, Dover, 1987 (1^re éd. 1964) (lire en ligne), p. 210 ;

(en) John S. Rose, A Course on Group Theory, Dover, 1994 (réimpr.), p. 202 ;

(en) Joseph J. Rotman (en), An Introduction to the Theory of Groups, Springer, 1999 (tirage corrigé), 4^e éd. [détail de l’édition] (lire en ligne), p. 154 et

(en) Derek J. S. Robinson (de), A Course in the Theory of Groups, Springer, coll. « GTM » (n^o 80), 1996, 2^e éd. (lire en ligne), p. 68.
Isaacs (2008), p. 66, souligne que les deux conventions coexistent.

[mwXg] N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, chap. I, § 6,

[mwYw] (en) I. Martin Isaacs (en), Finite Group Theory, AMS, 2008 (lire en ligne), p. 66 et

[mwcQ] (de) Otto Schreier, « Über die Erweiterung von Gruppen I », Monatshefte für Mathematik und Physik, vol. 34,‎ 1926, p. 165-180.

[mwhg] Jean Fresnel, Groupes, Hermann, 2001, p. 19 ;

[mwig] (en) William R. Scott, Group Theory, Dover, 1987 (1^re éd. 1964) (lire en ligne), p. 210 ;

[mwmQ] (en) John S. Rose, A Course on Group Theory, Dover, 1994 (réimpr.), p. 202 ;

[mwoA] (en) Joseph J. Rotman (en), An Introduction to the Theory of Groups, Springer, 1999 (tirage corrigé), 4^e éd. [détail de l’édition] (lire en ligne), p. 154 et

[mwtA] (en) Derek J. S. Robinson (de), A Course in the Theory of Groups, Springer, coll. « GTM » (n^o 80), 1996, 2^e éd. (lire en ligne), p. 68.

[2] (en) Derek J. S. Robinson, A Course in the Theory of Groups, Springer, coll. « GTM » (n^o 80), 1993 (lire en ligne), p. 312, exercice 11.1.3.