Fonction de Faddeeva

Parties réelles et imaginaires

La décomposition en parties réelles et imaginaires s'écrit généralement

${\displaystyle w(x+\mathrm {i} y)=V(x,y)+\mathrm {i} L(x,y)}$,

où V et L sont appelés les fonctions de Voigt réelles et imaginaires, puisque V(x,y) est le profil de Voigt (à un préfacteur près).

Inversion de signe

Pour les arguments à signe inversé, on a les deux égalités suivantes :

${\displaystyle w(-z)=2\mathrm {e} ^{-z^{2}}-w(z)}$

et

${\displaystyle w(-z)=w\left(z^{*}\right)^{*}}$

où * désigne la conjugaison complexe.

Relation avec la fonction d'erreur complémentaire

La fonction de Faddeeva évaluée sur des arguments imaginaires est égale à la fonction d'erreur complémentaire mise à l'échelle (erfcx) :

${\displaystyle w(\mathrm {i} z)=\mathrm {erfcx} (z)=\mathrm {e} ^{z^{2}}\mathrm {erfc} (z)}$,

où erfc désigne la fonction d'erreur complémentaire. Pour de grandes valeurs réelles x :

${\displaystyle \mathrm {erfcx} (x)\approx {\frac {1}{{\sqrt {\pi }}x}}}$

Dérivée

Dans certaines applications, il est nécessaire de connaître non seulement les valeurs originales de la fonction de Faddeeva, mais également celles de sa dérivée (par exemple dans un modèle de régression des moindres carrés non linéaires en spectroscopie ). Sa dérivée est donnée par l'équation différentielle ^,:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} w(z)}{\mathrm {d} z}}={\frac {2\mathrm {i} }{\sqrt {\pi }}}-2\cdot z\cdot w(z)}$

Cette expression peut également être décomposée davantage en termes de changements dans la partie réelle et imaginaire de la fonction de Faddeeva, avec ${\displaystyle \Re \left(w\left(z\right)\right)=\Re _{w}}$ et ${\displaystyle \Im \left(w\left(z\right)\right)=\Im _{w}}$. Fondamentalement, cela nécessite une connaissance de la partie réelle et imaginaire du produit z w(z). En utilisant la définition ci-dessus ${\displaystyle z=x+\mathrm {i} y}$, la dérivée peut donc être décomposée en dérivées partielles par rapport à ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$ comme suit :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \Re _{w}}{\mathrm {d} x}}=2\cdot \left(y\cdot \Im _{w}-x\cdot \Re _{w}\right)={\frac {\mathrm {d} \Im _{w}}{\mathrm {d} y}}}$      et      ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \Re _{w}}{\mathrm {d} y}}=-2\cdot \left({\frac {1}{\sqrt {\pi }}}-x\cdot \Im _{w}-y\cdot \Re _{w}\right)=-{\frac {\mathrm {d} \Im _{w}}{\mathrm {d} x}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \Im _{w}}{dx}}=2\cdot \left({\frac {1}{\sqrt {\pi }}}-x\cdot \Im _{w}-y\cdot \Re _{w}\right)=-{\frac {\mathrm {d} \Re _{w}}{\mathrm {d} y}}}$      et      ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \Im _{w}}{\mathrm {d} y}}=2\cdot \left(y\cdot \Im _{w}-x\cdot \Re _{w}\right)={\frac {\mathrm {d} \Re _{w}}{\mathrm {d} x}}}$

Un exemple pratique d'utilisation de ces dérivées partielles peut être trouvé ici.