Fonction loggamma

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En analyse, la fonction loggamma est une fonction réelle, définie comme le logarithme naturel de la fonction Gamma pour tout réel strictement positif.

Définitions

La fonction loggamma est définie sur la demi-droite réelle positive par

{\displaystyle {\begin{matrix}\ln \circ \,\Gamma

En utilisant l'identité de Schlömlich, on a également :

\forall x>0,\ln \circ \,\Gamma (x)=-\gamma x-\ln x+\sum _{k=1}^{+\infty }\left[{\frac {x}{k}}-\ln \left(1+{\frac {x}{k}}\right)\right].

où $γ$ est la constante d'Euler-Mascheroni.

Elle est donc la solution de l'équation fonctionnelle :

f(z)=f(z+1)-\ln z.

Une notation utilisée dans la littérature est $\operatorname {log\Gamma }$ .

Équivalent asymptotique de la fonction de Binet

De la formule asymptotique de Stirling appliquée à la fonction Gamma, on tire :

\ln \circ \,\Gamma (x)=\left(x-{\frac {1}{2}}\right)\ln x-x+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi )+\mu (x)

avec $μ$ la fonction de Binet vérifiant $\mu (x)=o_{x\rightarrow +\infty }(x)$ On peut exprimer l'équivalent sous forme de reste intégral.

Ce reste intégral peut s'exprimer par deux formules, dite première formule de Binet^, :

\mu (x)=\int _{0}^{+\infty }\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{\mathrm {e} ^{t}-1}}\right){\frac {\mathrm {e} ^{-xt}}{t}}\mathrm {d} t

et deuxième formule de Binet^,:

\mu (x)=2\int _{0}^{+\infty }{\frac {\arctan({\frac {t}{x}})}{\mathrm {e} ^{2\pi t}-1}}\mathrm {d} t

Il existe également plusieurs représentations en série de la fonction de Binet, comme celui montré par Gudermann:

\mu (x)=\sum _{n=0}^{+\infty }\left[\left(x+k+{\frac {1}{2}}\right)\ln \left(1+{\frac {1}{x+k}}\right)-1\right]

ou plus classiquement:

\mu (x)=\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {c_{n}}{\prod _{k=1}^{n}(x+k)}},\ {\textrm {avec}}\;c_{n}={\frac {1}{n}}\int _{0}^{1}(u-{\frac {1}{2}})\prod _{k=0}^{n-1}(u+k)\mathrm {d} u.

Propriétés

La fonction log-gamma est convexe.

Valeurs spéciales

On a, pour tout entier strictement positif $n$ :

(\ln \circ \,\Gamma )\left({\frac {n}{2}}\right)={\frac {1}{2}}\ln \pi +\ln[(n-2)!!]-{\frac {n-1}{2}}\ln 2.

Développement en série

On a^,:

\forall x\in ]-1;1],\ (\ln \circ \,\Gamma )(x+1)=-\gamma x+\sum _{n=2}^{+\infty }(-1)^{n}\zeta (n)x^{n}.

Dérivées

La dérivée de la fonction log-gamma est la fonction digamma:

\forall x>0,\ (\ln \circ \,\Gamma )'(x)=\psi (x)={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}.

Intégrales

Raabe a démontré l'égalité^, :

\forall x>0,\ \int _{0}^{1}\ln \left({\frac {\Gamma (x+t)}{\sqrt {2\pi }}}\right)\mathrm {d} t=x\ln x-x.

dont on déduit :

\int _{0}^{1}\ln \Gamma (t)\mathrm {d} t=\ln({\sqrt {2\pi }}).

Elle peut se déduire de la formule de Lerch sur la dérivée de la fonction zêta de Hurwitz:

\left.{\frac {\partial }{\partial s}}\zeta (s,q)\right|_{s=0}=\ln \left({\frac {\Gamma (q)}{\sqrt {2\pi }}}\right).

La fonction loggamma admet comme représentations intégrales :

(\ln \circ \,\Gamma )(x)=-\int _{0}^{+\infty }\left(x-1-{\frac {1-\mathrm {e} ^{-(x-1)t}}{1-\mathrm {e} ^{-t}}}\right){\frac {\mathrm {e} ^{-t}}{t}}\mathrm {d} t+\ln \left({\frac {\pi }{\sin(\pi x)}}\right)

(formule de Malmsten)

(\ln \circ \,\Gamma )(x)=\int _{0}^{+\infty }\left((x-1)\mathrm {e} ^{-t}-{\frac {(1+t)^{-x}-(1+t)^{-1}}{\ln(1+t)}}\right){\frac {1}{t}}\mathrm {d} t

(formule de Féaux)

(\ln \circ \,\Gamma )(x)=-\int _{0}^{+\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{-t}}{t}}\left({\frac {\mathrm {e} ^{tx}-1}{1-\mathrm {e} ^{-t}}}-x\right)\mathrm {d} t+\ln \left({\frac {\pi }{\sin(\pi x)}}\right)

On a également^,:

\forall n\in \mathbb {N} ^{*},\ \int _{0}^{1}\ln \Gamma (t)\sin(2\pi nt)\mathrm {d} t={\frac {\ln(2\pi )+\gamma +\ln n}{2\pi n}},\ \forall n\in \mathbb {N} ,\ \int _{0}^{1}\ln \Gamma (t)\sin((2n+1)\pi t)\mathrm {d} t={\frac {\ln(2\pi )}{(2n+1)\pi }}.

\forall n\in \mathbb {N} ,\ \int _{0}^{1}\ln \Gamma (t)\cos(2\pi nt)\mathrm {d} t={\frac {1}{4n}},\ \int _{0}^{1}\ln \Gamma (t)\cos((2n+1)\pi t)\mathrm {d} t={\frac {2}{\pi ^{2}}}\left({\frac {\ln(2\pi )+\gamma }{(2n+1)^{2}}}+2\sum _{k=2}^{+\infty }{\frac {\ln k}{4k^{2}-(2n+1)^{2}}}\right).

\forall x>0,\ \int _{0}^{1}\ln \Gamma (t)\zeta (x,t)\mathrm {d} t={\frac {\Gamma (1-x)}{(2\pi )^{2-x}}}\zeta (2-x)\left[\pi \sin \left({\frac {\pi x}{2}}\right)+2\cos \left({\frac {\pi x}{2}}\right)\left(\ln(2\pi )+\gamma -{\frac {\zeta '(2-x)}{\zeta (2-x)}}\right)\right].

Démonstrations des intégrales

Pour montrer la formule de Raabe, on utilise la formule du roi :

I=\int _{0}^{1}\ln \Gamma (t)\mathrm {d} t=\int _{0}^{1}\ln \Gamma (1+0-t)\mathrm {d} t\ \Longrightarrow \ 2I=\int _{0}^{1}\ln \Gamma (t)\mathrm {d} t+\int _{0}^{1}\ln \Gamma (1-t)\mathrm {d} t=\int _{0}^{1}\ln \left[\Gamma (t)\Gamma (1-t)\right]\mathrm {d} t

Par la formule des compléments :

2I=\int _{0}^{1}\ln \left[{\frac {\pi }{\sin(\pi t)}}\right]\mathrm {d} t=\ln \pi -{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\ln \sin(t)\mathrm {d} t.

La dernière intégrale est l'intégrale d'Euler :

2I=\int _{0}^{1}\ln \left[{\frac {\pi }{\sin(\pi t)}}\right]\mathrm {d} t=\ln \pi +{\frac {1}{\pi }}\times \pi \ln 2.

d'où

\int _{0}^{1}\ln \Gamma (t)\mathrm {d} t={\frac {1}{2}}\ln(2\pi ).

On utilise ensuite la dérivation sous le signe intégral pour obtenir la formule plus générale :

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\int _{0}^{1}\ln \Gamma (t+x)\mathrm {d} t=\int _{0}^{1}{\frac {\partial }{\partial x}}\ln \Gamma (t+x)\mathrm {d} t=\int _{0}^{1}\psi (t+x)\mathrm {d} t=\ln \Gamma (x+1)-\ln \Gamma (x)=\ln x\ \Longrightarrow \ \int _{0}^{1}\ln \Gamma (t+x)\mathrm {d} t=\int _{0}^{x}\ln u\,\mathrm {d} u=x\ln x-x-\ln \left({\sqrt {2\pi }}\right).

On a le développement en série de Fourier :

\forall x\in ]0;1[,\ \ln(\sin(\pi x))=-\ln 2-\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {\cos(2n\pi x)}{n}}

Combiné avec la formule des compléments, on peut en déduire les valeurs des intégrales avec les fonctions trigonométriques.

Utilisation

Du fait de la croissance surexponentielle de la fonction gamma, la fonction loggamma peut être utilisée pour le calcul de la fonction gamma pour de grandes valeurs.

Références

(en) Russell Leidich, « Error Bounds on the Loggamma Function Amenable to Interval Arithmetic », viXra,‎ 2016 (lire en ligne)

1 2 (en) A. Erdelyi, W. Magnus, F. Oberhettinger et F.G. Tricomi, Higher Transcendental Functions, vol. 1, New York, McGraw-Hill Book Corp., 1981.
1 2 (en) E.T. Whittaker et G.N. Watson, A Course of Modern Analysis, Cambridge University Press, 1902 (lire en ligne)
↑ Philippe Gilbert, « Recherches sur le développement de la fonction Γ, et sur certaine intégrales définies qui en dépendent », Mémoires de l'Académie royale de Belgique, vol. 41,‎ 1875, p. 1-60 (lire en ligne)
↑ (en) P. Van Mieghem, « Binet's factorial series and extensions to Laplace transforms », 2023.
↑ (en) T. M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer, 1976.
↑ L. Bendersky, « Sur la fonction Gamma généralisée », Acta Mathematica, vol. 61,‎ 1933 (lire en ligne)
1 2 (en) Jason Musser, Higher Derivatives of the Hurwitz Zeta Function, coll. « PhD thesis » (lire en ligne)
↑ (de) J.L. Raabe, « Angenäherte Bestimmung der Factorenfolge $1.2.3.4.5.... n = Γ(1+ n) = \int x n e -x dx$ , wenn $n$ eine sehr grosse Zahl ist.. », Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal), vol. 25,‎ 1843, p. 146–159 (DOI 10.1515/crll.1843.25.146)
↑ (en) Tewodrod Amdeberhan, Mark W. Coffey, Olivier Espinosa, Christoph Koutschan, Dante V. Manna et Victor Moll, « Integrals of powers of loggamma », Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 139, n^o 2,‎ février 2011, p. 535-545 (DOI 10.1090/S0002-9939-2010-10589-0, lire en ligne)
↑ (en) Olivier R. Espinosa et Victor H. Moll, « On some Definite Integrals involving the Hurwitz Zeta function », version 1, 2002.
↑ (en) K.S. Kölbig, « On three trigonometric integrals of lnΓ(x) or its derivative », Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 54, n^o 1,‎ 1994, p. 129-13 (DOI 10.1016/0377-0427(94)90400-6)

Voir aussi

Fonction digamma

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, « Log Gamma Function », sur MathWorld
(en) Eric W. Weisstein, « Binet's Log Gamma Formulas », sur MathWorld
(en) Eric W. Weisstein, « Malmstén's Formula », sur MathWorld

Portail de l'analyse

[Erdelyi-1] 1 2 (en) A. Erdelyi, W. Magnus, F. Oberhettinger et F.G. Tricomi, Higher Transcendental Functions, vol. 1, New York, McGraw-Hill Book Corp., 1981.

[WhittakerWatson-2] 1 2 (en) E.T. Whittaker et G.N. Watson, A Course of Modern Analysis, Cambridge University Press, 1902 (lire en ligne)

[3] Philippe Gilbert, « Recherches sur le développement de la fonction Γ, et sur certaine intégrales définies qui en dépendent », Mémoires de l'Académie royale de Belgique, vol. 41,‎ 1875, p. 1-60 (lire en ligne)

[4] (en) P. Van Mieghem, « Binet's factorial series and extensions to Laplace transforms », 2023.

[5] (en) T. M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer, 1976.

[6] L. Bendersky, « Sur la fonction Gamma généralisée », Acta Mathematica, vol. 61,‎ 1933 (lire en ligne)

[MusserPhD-7] 1 2 (en) Jason Musser, Higher Derivatives of the Hurwitz Zeta Function, coll. « PhD thesis » (lire en ligne)

[8] (de) J.L. Raabe, « Angenäherte Bestimmung der Factorenfolge $1.2.3.4.5.... n = Γ(1+ n) = \int x n e -x dx$ , wenn $n$ eine sehr grosse Zahl ist.. », Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal), vol. 25,‎ 1843, p. 146–159 (DOI 10.1515/crll.1843.25.146)

[9] (en) Tewodrod Amdeberhan, Mark W. Coffey, Olivier Espinosa, Christoph Koutschan, Dante V. Manna et Victor Moll, « Integrals of powers of loggamma », Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 139, n^o 2,‎ février 2011, p. 535-545 (DOI 10.1090/S0002-9939-2010-10589-0, lire en ligne)

[10] (en) Olivier R. Espinosa et Victor H. Moll, « On some Definite Integrals involving the Hurwitz Zeta function », version 1, 2002.

[11] (en) K.S. Kölbig, « On three trigonometric integrals of lnΓ(x) or its derivative », Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 54, n^o 1,‎ 1994, p. 129-13 (DOI 10.1016/0377-0427(94)90400-6)