Forme de Killing

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Dans la théorie des algèbres de Lie, la forme de Killing est une forme bilinéaire symétrique naturellement associée à toute algèbre de Lie. Elle reflète un certain nombre de propriétés des algèbres de Lie (semi-simplicité, résolubilité…).

Définition

Soit ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ une ${\displaystyle K}$-algèbre de Lie, où ${\displaystyle K}$ désigne un corps (commutatif). La représentation adjointe définit pour tout vecteur x de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ un endomorphisme ${\displaystyle K}$-linéaire ad(x) du ${\displaystyle K}$-espace vectoriel ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ :

${\displaystyle {\text{ad}}(x)(y)=[x,y].}$

Si ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ est de dimension finie, on définit la forme bilinéaire symétrique ${\displaystyle \kappa }$ définie par :

${\displaystyle \kappa (x,y)={\text{Tr}}\left(ad(x)\circ ad(y)\right)}$

la trace du produit des représentations adjointes. Cette forme est appelée forme de Killing de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, aussi parfois notée ${\displaystyle \kappa _{\mathfrak {g}}}$. La forme de Killing est l'unique forme bilinéaire symétrique sur ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ invariante sous l'action des automorphismes de la ${\displaystyle K}$-algèbre de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ et vérifiant l'identité remarquable :

${\displaystyle \kappa \left([x,y],z\right)=\kappa \left(x,[y,z]\right).}$

Curieusement, la forme de Killing a été définie par Élie Cartan, tandis que la matrice de Cartan a été définie par Wilhelm Killing.

Propriétés

• La forme de Killing des idéaux s'obtient par restriction de celle de l'algèbre de Lie. Soit ${\displaystyle I}$ un idéal de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, alors ${\displaystyle \kappa _{I}=\kappa _{|I\times I}}$.

• La forme de Killing fournit un critère de semi-simplicité. Une algèbre de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ est semi-simple si et seulement si sa forme de Killing ${\displaystyle \kappa _{\mathfrak {g}}}$ est non-dégénérée.

• En caractéristique nulle, le critère de Cartan appliqué à la représentation adjointe offre un critère de résolubilité pour la forme de Killing. Une algèbre de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ vérifit que ${\displaystyle \kappa _{\mathfrak {g}}(x,y)=0}$ pour tous ${\displaystyle x\in [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$ et ${\displaystyle y\in {\mathfrak {g}}}$ si et seulement si elle est résoluble.

Notes et références

Articles connexes

• Tenseur de Killing
• Opérateur de Casimir
• Théorème de Lie
• Critère de Cartan

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