Formule de Rodrigues

Soit ${\textstyle F_{k}:={\frac {1}{w}}D_{x}^{k}(B^{n}w)}$, alors ${\textstyle F_{k}=B^{n-k}p_{k}}$ pour tout ${\textstyle k\in 0:n}$ pour des polynômes bien choisis ${\textstyle p_{k}}$, avec ${\textstyle deg(p_{k})\leq k}$. On peut alors montrer par induction sur ${\textstyle k}$: $${\displaystyle F_{k+1}=B^{n-k-1}(Bp_{k}'+(n-k)B'p_{k}+(A-B')p_{k})}$$

Soit ${\textstyle Q_{n}:={\frac {1}{w}}D_{x}^{n}(B^{n}w)}$. On a vu que ${\textstyle Q_{n}}$ est un polynôme de degré au plus n. Par intégration par partis, on a pour tout ${\textstyle n>m}$, $${\displaystyle \int _{a}^{b}Q_{m}(x)Q_{n}(x)w(x)\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}B^{n}(x)w(x){\frac {\mathrm {d} ^{n}Q_{m}}{\mathrm {d} x^{n}}}(x)\mathrm {d} x=0}$$ puisque ${\textstyle Q_{m}^{(n)}=0}$. Ainsi, ${\textstyle Q_{0},Q_{1},\dots }$ forme une suite de polynômes pour le poids ${\textstyle w}$. Ainsi, on a ${\textstyle P_{n}=c_{n}Q_{n}}$ pour des constantes ${\textstyle c_{n}}$.

L'égalité est triviale pour n = 0. Pour n = 1, elle se réduit à ${\displaystyle AP_{1}'=A'P_{1}}$, qui est vraie car par construction ${\displaystyle P_{1}={\frac {c_{1}}{w}}(Bw)'=c_{1}A}$.

On considère maintenant ${\displaystyle n\geq 2}$. On pose ${\displaystyle I_{n}(x)={\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}(B^{n}(x)w(x))}$, alors par calcul direct et simplification, l'équation à prouver devient équivalente à

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}(B(x)I_{n}(x))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(A(x)I_{n}(x))+\lambda _{n}I_{n}(x)=0}$$

On remarque que, pour une fonction y arbitraire, on a :

$${\displaystyle B(x){\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}y={\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}(B(x)y)-n{\frac {\mathrm {d} ^{n-1}}{\mathrm {d} x^{n-1}}}(B'(x)y)+{\frac {n(n-1)}{2}}{\frac {\mathrm {d} ^{n-2}}{\mathrm {d} x^{n-2}}}(B''y)}$$

$${\displaystyle A(x){\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}y={\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}(A(x)y)-n{\frac {\mathrm {d} ^{n-1}}{\mathrm {d} x^{n-1}}}(A'y)}$$

Cela nos permet de sortir les termes ${\displaystyle A(x),B(x)}$ hors de la dérivée n-ième. On pose ${\displaystyle y=B^{n}(x)w(x)}$, et on définit

$${\displaystyle J(x)=\underbrace {{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}(B(x)y(x))} _{J_{1}(x)}+\underbrace {(-n){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(B'(x)y(x))} _{J_{2}(x)}+\underbrace {{\frac {n(n-1)}{2}}B''(x)y(x)} _{J_{3}(x)}}$$

$${\displaystyle K(x)=\underbrace {-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(A(x)y(x))} _{K_{1}(x)}+\underbrace {nA'y(x)} _{K_{2}(x)}}$$

$${\displaystyle L(x)=\lambda _{n}y(x)}$$

Alors l'équation se simplifie en ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}(J+K+L)=0}$

On a :

${\displaystyle J_{3}(x)+K_{2}(x)+L(x)=\left(\lambda _{n}+{\frac {n(n-1)}{2}}B''(x)+nA'(x)\right)y(x)=0}$.

et on conclut en remarquant que

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{1}(x)&={\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\left(B^{n}(x)\int \exp \left({\frac {A(x)}{B(x)}}\right)\mathrm {d} x\right)\\&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[\left(nB'(x)B^{n-1}(x)+A(x)B^{n-1}(x)\right)\int \exp \left({\frac {A(x)}{B(x)}}\right)\mathrm {d} x\right]\\&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(nB'(x)B^{n}(x)w(x)+A(x)B^{n}(x)w(x)\right)\\&=-J_{2}(x)-K_{1}(x)\end{aligned}}}$