En mathématiques, la fonction de Gudermann, appelée aussi parfois gudermannien, et notée gd, nommée en l'honneur de Christoph Gudermann, fait le lien entre la trigonométrie circulaire et la trigonométrie hyperbolique sans faire intervenir les nombres complexes.
La fonction de Gudermann est définie sur l'ensemble des réels par :
Le réel , appelé parfois gudermannien de , est relié à ce dernier par les relations :
La dérivée de la fonction de Gudermann est donnée par .
La fonction de Gudermann est donc la solution s'annulant en 0 de l'équation différentielle .
La réciproque de la fonction de Gudermann est définie sur par :
La dérivée de cette fonction réciproque est donnée par .
La réciproque de la fonction de Gudermann est donc la solution s'annulant en 0 de l'équation différentielle .
Elles sont ainsi définies de sorte que les loxodromies de la sphère soient représentées par des droites dans le plan .
