Hexacode

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En théorie des codes, l'hexacode est un code linéaire de longueur 6 et de dimension 3 sur le corps fini $𝔽_{4} = {0, 1, ω, ω^{2}}$ à quatre éléments défini par

H = {(a, b, c, f (1), f (ω), f (ω^{2})) : f (x) := a x^{2} + b x + c; a, b, c \in 𝔽_{4}} .

Une famille génératrice de $H$ est donnée par :

\begin{matrix} (1, 0, 0, 1, ω^{2}, ω), \\ (0, 1, 0, 1, ω, ω^{2}), \\ (0, 0, 1, 1, 1, 1) . \end{matrix}

Ainsi, $H$ est un sous-espace de dimension 3 de l'espace vectoriel de dimension 6 qu'est $𝔽_{4}^{6}$ . Il contient 45 éléments de poids 4, 18 éléments de poids 6 et le vecteur nul. Le groupe des automorphismes (en) faibles de l'hexacode est $3 \cdot S_{6}$ .

L'hexacode peut être utilisé pour décrire le Miracle Octad Generator inventé par Rob T. Curtis, une méthode commode pour retrouver des générateurs du plus grand groupe de Mathieu $M_{24}$ .

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hexacode » (voir la liste des auteurs).

John H. Conway et Neil J. A. Sloane, Sphere Packings, Lattices and Groups, New York, Springer-Verlag, 1998 (ISBN 0-387-98585-9, lire en ligne )

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