Image directe

L'image directe de 𝐴, un sous-ensemble de $X$ , par une application $f : X \to Y$ est le sous-ensemble de $Y$ formé des éléments qui ont, par $f$ , au moins un antécédent appartenant à $A$ :

f (A) = {f (x) ∣ x \in A} = {y \in Y ∣ \exists a \in A, y = f (a)} .

Exemples

On définit en particulier l'image d'une application $f$ définie sur $X$ : $I m (f) = f (X) .$
On se gardera bien de confondre l'image directe par $f$ d'une partie $A$ de $X$ , avec l'image par $f$ d'un élément $x$ de $X$ , ou avec l'image de l'application $f$ .
Considérons l'application $f$ de ${1, 2, 3}$ dans ${a, b, c, d}$ définie par $f (1) = a$ , $f (2) = c$ et $f (3) = d$ . L'image directe de ${2, 3}$ par $f$ est $f ({2, 3}) = {c, d}$ tandis que l'image de $f$ est ${a, c, d}$ .

Propriétés élémentaires

Pour toutes parties $A_{1}$ et $A_{2}$ de $X$ , $f (A_{1} \cup A_{2}) = f (A_{1}) \cup f (A_{2}) .$ Plus généralement, pour toute famille ${(A_{i})}_{i \in I}$ de parties de $X$ , $f (⋃_{i \in I} A_{i}) = ⋃_{i \in I} f (A_{i}) .$
Pour toutes parties $A_{1}$ et $A_{2}$ de $X$ , $f (A_{1} \cap A_{2}) \subset f (A_{1}) \cap f (A_{2})$ et cette inclusion peut être stricte, sauf si $f$ est injective.
On peut même prouver que $f$ est injective si et seulement si pour toutes parties $A_{1}$ et $A_{2}$ de $X$ , on a $f (A_{1} \cap A_{2}) = f (A_{1}) \cap f (A_{2})$ .

Plus généralement, pour toute famille non vide ${(A_{i})}_{i \in I}$ de parties de $X$ ,

f (⋂_{i \in I} A_{i}) \subset ⋂_{i \in I} f (A_{i})

.

Toute partie $B$ de $Y$ contient l'image directe de son image réciproque $f^{- 1} (B)$ ; plus précisément : $f (f^{- 1} (B)) = B \cap I m (f) .$ En particulier, si $f$ est surjective alors $f (f^{- 1} (B)) = B$ .

On peut même prouver que

f

est surjective si et seulement si pour toute partie

B

de

Y

on a

f (f^{- 1} (B)) = B

.

(Une démonstration est proposée dans l'article Surjection.)

Toute partie $A$ de $X$ est contenue dans l'image réciproque de son image directe : $A \subset f^{- 1} (f (A))$ et cette inclusion peut être stricte, sauf si $f$ est injective. On peut même prouver que $f$ est injective si et seulement si pour toutes parties $A$ de $X$ , on a $A = f^{- 1} (f (A))$ .
Si l'on considère de plus une application $g : Y \to Z$ , alors l'image directe d'une partie $A$ de $X$ par la composée $g \circ f : X \to Z$ est :

(g \circ f) (A) = g (f (A))

Notes et références

↑ Pour éviter toute confusion, Saunders Mac Lane et Garrett Birkhoff, Algèbre [détail des éditions], vol. 1, p. 8, parlent d'une application ensembliste, qu'ils notent $f$ _*.
1 2 3 Pour une démonstration, voir par exemple le corrigé de l'exercice correspondant sur Wikiversité.

Articles connexes

Théorie naïve des ensembles
Image d'une partie par une fonction multivaluée (autrement dit : par une relation binaire)

Portail des mathématiques

[1] Pour éviter toute confusion, Saunders Mac Lane et Garrett Birkhoff, Algèbre [détail des éditions], vol. 1, p. 8, parlent d'une application ensembliste, qu'ils notent $f$ _*.

[Wikiversité-2] 1 2 3 Pour une démonstration, voir par exemple le corrigé de l'exercice correspondant sur Wikiversité.