Intégrabilité

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En mathématiques, dire qu'une fonction $f$ à valeurs dans $\mathbb {R}$ est intégrable est polysémique. Cela signifie usuellement que $\vert f\vert$ (barres de valeur absolue) admet une intégrale généralisée (au sens de Riemann). Toutefois, stricto sensu, cela signifie simplement que $f$ vérifie cette condition. Dans cet article, on opte pour la première définition (avec valeurs absolues).

On étend naturellement la définition à l'ensemble d'arrivée $\mathbb {C}$ (en remplaçant la valeur absolue par le module), ou même à un espace vectoriel normé (en remplaçant la valeur absolue par la norme).

Enfin, on étend la définition à l'intégrale au sens de Lebesgue.

Intégrales généralisées de Riemann

Articles détaillés : Intégrale de Riemann et Intégrale généralisée.

On travaille ici avec des intégrales généralisées (au sens de Riemann) car on intègre sur un intervalle quelconque.

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb {R}$ d'extrémités $a<b$ . Soit $\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$ .

Définition

Soit une fonction $f:I\longrightarrow \mathbb {K}$ . On dit que $f$ est intégrable si l'intégrale ${\textstyle \int \vert f\vert }$ existe. Pour tout intervalle non vide $J\subset I$ , on dit que $f$ est intégrable sur $J$ si sa restriction à $J$ l'est.

Si $f$ est continue, l'intégrabilité implique l'existence de ${\textstyle \int f}$ . La réciproque est fausse.

Il s'agit d'une notion polysémique : on veillera à connaître les conventions des auteurs. Certains emploient plutôt « absolument convergente » pour dire que ${\textstyle \int \vert f\vert }$ existe, ou emploient « intégrable » pour l'existence de ${\textstyle \int f}$ , ou imposent en plus que $f$ soit continue par morceaux^,.

On peut considérer la présente définition comme la généralisation continue de la somme des familles sommables (notion discrète). Certains auteurs proposent une formalisation semblable.

Critères d'intégrabilité

Soit $f:I\longrightarrow \mathbb {K}$ intégrable sur tout intervalle fermé de $I$ (typiquement, continue).

On pose, pour tout $c\in I$ , ${\textstyle \phi _{c}:I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\mapsto \int _{c}^{x}\vert f\vert }$ (on notera qu'on intègre ici sur des intervalles fermés ; il ne s'agit que d'intégrales de Riemann basiques, non impropres). Ces fonctions $\phi _{c}$ sont essentielles dans l'étude de l'intégrabilité. Résultat important, d'après les propriétés de l'intégrale de Riemann, elles sont croissantes et continues.

Critère par limites

Pour montrer l'intégrabilité, le critère naturel découlant de la définition est :

f

est intégrable :

si et seulement si pour tout $c\in I$ , $\phi _{c}$ admet des limites finies en $a$ et en $b$ ;
si et seulement s'il existe un $c\in I$ tel que $\phi _{c}$ admette des limites finies en $a$ et en $b$ .

Le cas échéant, l'intégrale vaut $\lim \limits _{b}\phi _{c}-\lim \limits _{a}\phi _{c}$ , avec $c$ un élément quelconque de $I$ .

Critère par bornage

Un critère puissant, sans limites, est :

f

est intégrable :

si et seulement si pour tout $c\in I$ , $\phi _{c}$ est bornée ;
si et seulement s'il existe un $c\in I$ tel que $\phi _{c}$ soit bornée.

Démonstration

( $f$ intégrable $\implies$ 1) : Soit $c\in I$ . Par hypothèse sur les limites (voir caractérisation par limites), il existe $\eta _{a},\eta _{b}$ tels que $a<\eta _{a}<\eta _{b}<b$ et tels que $\phi _{c}$ soit bornée sur $\left]-\infty ,\eta _{a}\right[\cap I$ et sur $\left]\eta _{b},+\infty \right[\cap I$ . Par ailleurs, $\phi _{c}$ est bornée sur $[\eta _{a},\eta _{b}]$ car une fonction continue sur un intervalle fermé est bornée. Il s'ensuit que $\phi _{c}$ est bornée (prendre le $\max$ (resp. le $\min$ ) de trois majorants (resp. minorants) précédents).

(1 $\implies$ 2) : Évident.

(2 $\implies$ $f$ intégrable) : On pose un $c$ quelconque dans $I$ . L'application $\phi _{c}$ est croissante. Elle est bornée par hypothèse. Ainsi, d'après le théorème de la limite monotone, les limites $\lim \limits _{x\to a \atop x>a}\phi _{c}(x),\lim \limits _{x\to b \atop x<b}\phi _{c}(x)$ existent et sont finies. Donc par continuité de $\phi _{c}$ , les limites $\lim \limits _{a}\phi _{c},\lim \limits _{b}\phi _{c}$ existent et sont finies. On conclut par le critère par limites que $f$ est intégrable.

Propriétés

Soient $f,g:I\longrightarrow \mathbb {K}$ .

Si $f$ $f$ est intégrable sur tout intervalle fermé de $I$ $I$ (typiquement, continue).
- Si $f$ et $I$ sont bornés, $f$ est intégrable.
- Si $g$ est intégrable et si $\vert f\vert \leq \vert g\vert$ , alors $f$ est intégrable.

Si $I$ est un intervalle fermé, l'existence de ${\textstyle \int f}$ implique l'intégrabilité de $f$ .

Si $f,g$ sont intégrables, toute combinaison linéaire de $f$ et $g$ est intégrable.

Si $\mathbb {K} =\mathbb {C}$ , $f$ est intégrable si et seulement si $\operatorname {Re} (f)$ et $\operatorname {Im} (f)$ le sont.

On notera que, contrairement au cas de l'intégrale sur un intervale fermé, il n'y a plus conservation du caractère « être intégrable » par produit.

Dans le cas où $f$ est continue, on a les propriétés suivantes :

Si $f$ est intégrable, ${\textstyle \int f}$ existe.
Si $I$ est un intervalle fermé, l'existence de ${\textstyle \int f}$ équivaut à l'intégrabilité de $f$ .
Si ${\textstyle \int \vert f\vert =0}$ , alors $f=0$ .

Exemples

Pour $\alpha \in \mathbb {R}$ $\alpha \in \mathbb {R}$ , la fonction $f:\left]0,+\infty \right[\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\mapsto x^{\alpha }$ $f:\left]0,+\infty \right[\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\mapsto x^{\alpha }$ est :
- si $\alpha <-1$ : non intégrable sur $]0,1]$ , intégrable sur $[1,+\infty [$ ;
- si $\alpha =-1$ : non intégrable sur $]0,1]$ , non intégrable sur $[1,+\infty [$ ;
- si $\alpha >-1$ : intégrable sur $]0,1]$ , non intégrable sur $[1,+\infty [$ .
La fonction $f:\left[1,+\infty \right[\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\mapsto {\tfrac {\sin {x}}{x^{2}}}$ est intégrable. Étant continue, elle admet donc aussi une intégrale.
La fonction $f:[0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\mapsto \left\{{\begin{array}{ll}1&{\text{si }}x\in \mathbb {Q} \\-1&{\text{sinon}}\end{array}}\right.$ est intégrable mais n'admet pas d'intégrale.
Inversement, la fonction $f:\left]0,+\infty \right[\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\mapsto {\tfrac {\sin {x}}{x}}$ admet une intégrale mais n'est pas intégrable. On dit dans ce cas que l'intégrale de $f$ est semi-convergente.

Intégrales de Lebesgue

Articles détaillés : Intégrale de Lebesgue et Espace L¹.

Soient $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ un espace mesuré. Soit $f$ une fonction ${\mathcal {A}}$ -mesurable de $X$ dans ${\overline {\mathbb {R} }}$ (droite réelle achevée) ou $\mathbb {C}$ . On dit que $f$ est intégrable (au sens de Lebesgue) si :

\int _{X}|f(x)|~\mathrm {d} \mu (x)<+\infty

Intégrales de Kurzweil-Henstock

Article détaillé : Intégrale de Kurzweil-Henstock.

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Notes et références

Notes

↑ Le cours sur les intégrales généralisées montre que la valeur ne dépend pas de $c$ .
↑ Déjà, $\lambda f+\mu g$ est intégrable sur tout intervalle fermé, par les propriétés de l'intégrale de Riemann. Ensuite, remarquer que $\vert \lambda f+\mu g\vert \leq \vert \lambda \vert \vert f\vert +\vert \mu \vert \vert g\vert$ .
↑ Pour le sens direct, remarquer déjà que $\operatorname {Re} (f)$ et $\operatorname {Im} (f)$ sont intégrables sur tout intervalle fermé, par les propriétés de l'intégrale de Riemann. Ensuite, remarquer que $\vert \operatorname {Re} (f)\vert ,\vert \operatorname {Im} (f)\vert \leq \vert f\vert$ . Pour le sens indirect, remarquer que $f=\operatorname {Re} (f)+\mathrm {i} \operatorname {Im} (f)$ et user de la stabilité par combinaisons linéaires.
↑ Par exemple, $f:\left]0,1\right]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\mapsto x^{-1/2}$ est intégrable mais son carré non (cf. exemples).
↑ L'hypothèse de continuité est indispensable : considérer une fonction nulle partout sauf en un point.
↑ Pour une preuve, voir ce lien.
↑ Elle est en effet continue, et, posant $g:\left[1,+\infty \right[\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\mapsto {\tfrac {1}{x^{2}}}$ (fonction intégrable), on a $\vert f\vert \leq \vert g\vert$ .
↑ L'intégrabilité est triviale. Pour montrer le second point, passer par les intégrales de Darboux en montrant que l'intégrale inférieure vaut -1 et la supérieure vaut 1.
↑ Pour une preuve, voir ce lien.