Natif d'Auckland, Josh Jacomb grandit à North Shore City. Il effectue sa scolarité au Sacred Heart College,.
En 2021, il représente pour la première fois la province de Taranaki dans le National Provincial Championship (NPC). À 20 ans, il occupe d'abord un rôle de doublure derrière les demis d'ouverture expérimentés de Taranaki, dans une optique de développement. Il contribue néanmoins au sacre de la province, qui remporte la division Championship cette saison-là.
En 2023, Josh Jacomb obtient un contrat professionnel avec Taranaki et s'impose progressivement comme un titulaire régulier. Fort de son expérience acquise au niveau provincial, il s'installe durablement dans la ligne de trois-quarts de son équipe. S'étant qualifiés jusqu'en finale du NPC, il remporte la compétition avec ses coéquipiers en s'imposant 22 à 19 contre Bay of Plenty.
D'abord retenu avec l'équipe development (espoir) des Chiefs pour la saison 2024 de Super Rugby, il est finalement appelé dans le groupe professionnel à l'occasion de la troisième journée contre les Queensland Reds, faisant ses débuts avec la franchise lors de cette rencontre. Plus tard cette année-là, Josh Jacomb représente les All Blacks XV(en) (équipe réserve) lors d'un match contre la Géorgie.
En , il porte également les couleurs des Barbarians lors de la défaite 54 à 7 face à l'Afrique du Sud. En suivant, ses performances avec Taranaki lors du National Provincial Championship sont récompensées par la médaille Duane Monkley, décernée lors des New Zealand Rugby Awards, qui récompense le meilleur joueur du championnat. Au cours de cette saison, il termine deuxième meilleur réalisateur derrière Cam Millar(en). Il inscrit notamment 30 points, dont un triplé, contre Auckland, établissant un nouveau record de points marqués par un joueur de Taranaki dans un match de NPC. Il efface ainsi l'ancienne marque de 29 points détenue par Beauden Barrett,. En fin d'année, il participe à la tournée européenne des All Blacks XV.
Barré par la concurrence de Damian McKenzie chez les Chiefs, il dispose d'un temps de jeu limité. En , les Highlanders annoncent son arrivée pour les saisons 2027 et 2028 de Super Rugby. Son agent, Ben Boyle, ne parvient toutefois pas à obtenir une libération anticipée de son contrat et il reste finalement aux Chiefs pour la saison 2026,.
All Blacks XV (en)
