Magma (algèbre)

Pour les articles homonymes, voir Magma.

En mathématiques, un magma est une des structures algébriques utilisées en algèbre générale. Un magma est par définition un ensemble muni d'une loi de composition interne.

Histoire

Le terme magma a été introduit pour la première fois dans le contexte de l'algèbre générale par Nicolas Bourbaki.

L'ancienne appellation « groupoïde de Ore », introduite par Bernard Hausmann et Øystein Ore en 1937 et parfois utilisée jusque dans les années 1960, est aujourd'hui à éviter ^,,, l'usage du terme groupoïde étant aujourd'hui réservé à la théorie des catégories, où il signifie autre chose.

En septembre 2024, Terence Tao lance le projet des théories équationnelles ((en) Equational theories project), travail collaboratif visant à étudier et mettre en relations les différentes propriétés mathématiques pouvant être vérifiées par les magmas.

Définition

Un magma est un ensemble ${\displaystyle M}$ muni d'une loi de composition interne, c'est à dire d'une application ${\displaystyle \star }$ de ${\displaystyle M\times M}$ dans ${\displaystyle M}$.

Le magma est noté ${\displaystyle (M,\star )}$, ou simplement ${\displaystyle M}$ lorsque la loi est clairement identifiée.

Ainsi, pour tous les éléments ${\displaystyle x{\text{ et }}y}$ de ${\displaystyle M}$, leur composé ${\displaystyle x\star y}$ est un élément de ${\displaystyle M}$. Aucun autre axiome n'est nécessaire. La loi n'est notamment pas nécessairement associative, régulière, unifère ou commutative. Une loi peut être notée additivement, multiplicativement, ou bien sans aucun signe, par simple juxtaposition.

Morphisme

Un morphisme de magmas (ou homomorphisme de magmas), du magma ${\displaystyle (M,\cdot )}$ dans le magma ${\displaystyle (N,\star )}$ est une application ${\displaystyle f:M\to N}$ qui préserve les lois de composition, c'est à dire telle que, pour tous ${\displaystyle x,y}$ de ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle \qquad f(x\cdot y)=f(x)\star f(y).}$

Si, de plus, ${\displaystyle f}$ est une bijection, la réciproque de ${\displaystyle f}$ est un morphisme de magmas de ${\displaystyle (N,\star )}$ dans ${\displaystyle (M,\cdot )}$ et on dit que ${\displaystyle f}$ est un isomorphisme de magmas.

Lorsque le contexte ne prête pas à confusion, le terme « morphisme » est employé seul. Il convient toutefois de distinguer un morphisme de magmas d'un morphisme dans une catégorie algébrique plus structurée. Ainsi, un morphisme de magma entre deux monoïdes n'est pas nécessairement un morphisme de monoïdes, car il n'est pas tenu de préserver les éléments neutres.

Éléments particuliers et parties remarquables d'un magma

Un magma ${\displaystyle (M,\star )}$ peut avoir des éléments particuliers, caractérisés par leur comportement vis-à-vis de la loi, parmi lesquels :

• l'élément neutre : ${\displaystyle e}$ est neutre si ${\displaystyle \forall x\in M,\ e\star x=x\star e=x}$. On définit aussi les neutres à gauche ou à droite ;
• les éléments symétriques (ou inverses) : ${\displaystyle a{\text{ et }}b}$ sont symétriques l'un de l'autre si ${\displaystyle \ a\star b=b\star a=e}$ . On distingue les symétriques à gauche et à droite lorsque la loi n'est pas commutative ;
• les éléments absorbants : ${\displaystyle a}$ est absorbant si ${\displaystyle \forall x\in M,\ a\star x=x\star a=a}$. On définit aussi les absorbants à gauche ou à droite ;
• les éléments idempotents : ${\displaystyle p}$ est idempotent si ${\displaystyle \ p\star p=p}$ ;
• les éléments nilpotents : ${\displaystyle c}$ est nilpotent d'ordre ${\displaystyle n}$ entier > 0 si ${\displaystyle c^{n}=a}$ où ${\displaystyle a}$ est un élément absorbant. L'écriture ${\displaystyle c^{n}}$ nécessite l'associativité de la loi. En l'absence d'associativité, la définition de la nilpotence dépend de la convention retenue pour l'itération des composés, et de la présence éventuelle de plusieurs éléments absorbants ;
• les éléments réguliers (ou simplifiables) : ${\displaystyle s}$ est régulier à gauche si ${\displaystyle \forall (x,y)\in M^{2},(s*x=s*y\Rightarrow x=y)}$ . On définit de manière similaire l'élément régulier à droite. Un élément régulier est régulier à gauche et à droite ;
• les éléments centraux : ${\displaystyle c}$ est central si ${\displaystyle \forall x\in M,c*x=x*c}$.

Les parties remarquables d'un magma sont notamment :

• les sous-magmas : toute partie non vide stable par la loi de composition du magma. Notamment ${\displaystyle \ Im(\star )}$ et les sous-magmas engendrés par les parties d'un magma ;
• le centre : ensemble des éléments centraux ;
• l'ensemble des éléments idempotents ;
• les ensembles d'éléments réguliers ;
• les ensembles d'éléments symétriques.

Magmas particuliers obtenus en ajoutant des axiomes

Un magma vérifiant certaines propriétés supplémentaires porte un nom particulier. Notamment :

• magma commutatif : un magma commutatif est un magma dont la loi est commutative ;
• magma unifère : un magma est dit unifère à gauche, s'il admet un élément neutre à gauche. On définit de manière similaire le magma unifère à droite. Un magma est dit unifère s'il est unifère à gauche et à droite ;
• demi-groupe (ou magma associatif) : un demi-groupe, ou un magma dit associatif, est un magma dont la loi est associative ;
• monoïde : un monoïde est un magma associatif et unifère ;
• quasigroupe : un quasigroupe à gauche est un magma dont la loi est régulière à gauche. On définit de manière similaire le quasigroupe à droite. Un quasigroupe est un magma dont la loi est régulière à gauche et à droite ;
• boucle : une boucle à gauche est un quasigroupe à gauche unifère à gauche. On définit de manière similaire la boucle à droite. Une boucle est un quasigroupe unifère ;
• demi-groupe inversif : un demi-groupe inversif est un demi-groupe où tout élément a un inverse unique au sens des demi-groupes. un demi-groupe inversif est un demi-groupe ;
• groupe : un groupe est un magma dont la loi est associative, admet un élément neutre et où tout élément possède un symétrique.

Comme autres types de magma qui ne soient pas des groupes, on peut citer entre autres les magmas et les boucles de Moufang, de Steiner, de Bol, de Bruck, les boucles d'automorphie et les bandes (demi-groupe idempotent).

Exemples de magmas

• Le magma vide est l'unique magma sur l'ensemble vide.
• ${\displaystyle (\mathbb {N} ,+)}$ est un monoïde commutatif. De plus, tout élément y est régulier.
• ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\times )}$ est également un monoïde commutatif, mais 0 n'est pas régulier.
• ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,-)}$ est un magma non associatif et non commutatif. Il n'est même pas unifère mais seulement unifère à droite car, s'il admet un (unique, ce qui n'est pas automatique) élément neutre à droite (0), il n'en admet pas à gauche. En revanche, ce magma est médial (en) (car ${\displaystyle (x-y)-(z-t)=(x-z)-(y-t)}$) et régulier.
• On appelle magma opposé au magma ${\displaystyle M=(E,\star )}$ le magma ${\displaystyle M^{op}=(E,\boxplus )}$ où ${\displaystyle x\boxplus y=y\star x}$ pour tous ${\displaystyle (x,y)\in E^{2}.}$
• Une relation d'équivalence compatible avec l'opération d'un magma définit un magma quotient.

• Murskiǐ a montré en 1965 que le magma à trois éléments ${\displaystyle \{0,1,2\}}$ muni de la loi interne ${\displaystyle \star }$ ci-dessous ne possède pas d'axiomatisation équationnelle (ou base équationnelle) finie.

Magma {0,1,2} muni de ${\displaystyle \star }$

${\displaystyle \star }$	0	1	2
0	0	0	0
1	0	0	1
2	0	2	2

• La structure d'anneau fait intervenir deux lois de composition internes sur un même ensemble, et donc deux magmas.

Magma libre construit sur un ensemble

Pour tout ensemble ${\displaystyle X}$, il est possible de construire un ensemble ${\displaystyle M_{X}}$ qui contient ${\displaystyle X}$ et qui est un magma pour la loi ${\displaystyle \bullet }$ définie par : ${\displaystyle a\bullet b=(a,b)}$. Cet ensemble doit nécessairement contenir :

• les éléments ${\displaystyle a,\,b,\,c,\,d,\,\dots }$ de ${\displaystyle X}$ ;
• les couples ${\displaystyle (a,b),\,(a,c),\,(b,c),\ \dots }$ d'éléments de ${\displaystyle X}$ ;
• les couples ${\displaystyle (a,(b,c)),\,((a,b),c),\ \dots }$ formés d'un couple et d'un élément de ${\displaystyle X}$ ;
• les couples ${\displaystyle ((a,b),(c,d)),\,(a,(b,(c,d))),\,(a,((b,c),d))}$, etc.

${\displaystyle M_{X}}$ peut être décrit comme l'ensemble des mots parenthésés construits à partir des éléments de ${\displaystyle X}$, l'opération ${\displaystyle \bullet }$ étant une concaténation non associative.

Bourbaki décrit cet ensemble comme l'union des ensembles de mots de longueur ${\displaystyle n}$ pour ${\displaystyle n}$ appartenant à ${\displaystyle \mathbb {N} }$ . Il définit par récurrence l'ensemble des mots de longueur ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle M_{n}(X)}$ comme l'ensemble somme des ensembles ${\displaystyle M_{p}(X)\times M_{n-p}(X)}$ pour ${\displaystyle 1\leqslant p\leqslant n-1}$ : un mot de longueur ${\displaystyle n}$ est la concaténation d'un mot de longueur ${\displaystyle p}$ et d'un mot de longueur ${\displaystyle n-p}$.

Cet ensemble s'appelle le magma libre construit sur ${\displaystyle X}$.

Ce magma libre construit sur ${\displaystyle X}$ possède la propriété universelle suivante: si ${\displaystyle f}$ est une application de ${\displaystyle X}$ vers un magma ${\displaystyle M}$, il existe une unique extension ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ de ${\displaystyle f}$ qui soit un morphisme de magma de ${\displaystyle M_{X}}$ vers ${\displaystyle M}$.

Notes et références

Voir aussi