Matthew Screech naît le à Church Village au pays de Galles. Scolarisé au Bridgend College, il pratique le rugby à XV, intégrant l'Academy (centre de formation) des Cardiff Blues et étant sélectionné en équipe du pays de Galles des moins de 16 et 18 ans,.
À l'issue de cette première saison en senior, il est envoyé au Cardiff RFC, autre club de Welsh Premiership, par les Cardiff Blues. Durant cette saison 2011-2012, il joue ses trois premiers matchs professionnels avec les Cardiff Blues mais joue majoritairement avec le Cardiff RFC,. En parallèle, il est de nouveau sélectionné pour le Tournoi des Six Nations des moins de 20 ans ainsi que pour le Championnat du monde junior, participant notamment à la victoire historique contre la Nouvelle-Zélande qui subit sa première défaite dans cette catégorie d'âge. Les Gallois terminent troisièmes de la compétition après une victoire 25 à 17 contre l'Argentine.
Laissé libre par les Cardiff Blues à l'intersaison 2013, il s'engage tout d'abord avec le Bedwas RFC avant de se voir offrir un contrat à plein temps avec les Newport Gwent Dragons après une période d'essai convaincante,. Dès ses premières saisons à Rodney Parade, il devient un joueur important des Dragons et joue régulièrement,. En parallèle, il dispute quelques rencontres avec le Bedwas RFC ainsi qu'un match avec le Newport RFC en Welsh Premiership,.
Durant la saison 2019-2020 du Pro14, il est le joueur ayant accumulé le plus de temps de jeu avec 1161 minutes disputées sur 1200 possibles, lui permettant de recevoir le prix de l'Iron Man grâce à cette performance.
À l'issue de la saison suivante, il est sélectionné pour la première fois en équipe du pays de Galles à l'occasion de la tournée d'été au Canada et en Argentine, profitant notamment de la non-convocation de son ami Cory Hill pour être appelé. Pendant la tournée, il connaît sa première cape en entrant en jeu contre l'équipe d'Argentine le ,.
En amont de la saison 2021-2022, il est annoncé qu'il fait son retour à Cardiff Rugby (ex-Cardiff Blues) après huit saisons avec les Dragons,,. Après une saison complète et le début de la saison 2022-2023 avec Cardiff Rugby, il est prêté à son ancienne équipe des Dragons à partir de la fin jusqu'à la fin de l'exercice.
Un an plus tard, il fait son retour en sélection nationale en étant titularisé contre l'Afrique du Sud, formant notamment la deuxième ligne avec son coéquipier chez les Dragons Ben Carter.
Au début du mois de , il signe un nouveau contrat avec le Dragons RFC, étant à ce moment-là le deuxième joueur le plus capé de l'histoire de l'équipe avec 212 matchs joués derrière les 236 de Lewis Evans(en).
Pays de Galles -16
