Majorant ou minorant

En mathématiques, soient ${\displaystyle (E,\leq )}$ un ensemble ordonné et ${\displaystyle F}$ une partie de ${\displaystyle E}$ ; un élément ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle E}$ est :

• un majorant de ${\displaystyle F}$ s'il est supérieur ou égal, par la relation binaire définie au préalable, à tous les éléments de ${\displaystyle F}$ :${\displaystyle \forall y\in F,\quad x\geq y}$;
• un minorant de ${\displaystyle F}$ s'il est inférieur ou égal, par la relation binaire définie au préalable, à tous les éléments de ${\displaystyle F}$ :${\displaystyle \forall y\in F,\quad x\leq y}$.

• Si ${\displaystyle F}$ possède un majorant ${\displaystyle x}$ alors on dit que ${\displaystyle F}$ est une partie majorée.
• Si ${\displaystyle F}$ possède un minorant ${\displaystyle x}$ alors on dit que ${\displaystyle F}$ est une partie minorée.

Exemples

• Pour l'intervalle ${\displaystyle ]0,10[}$, partie de l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {R} }$ des nombres réels ordonné par l'ordre usuel ${\displaystyle \leq }$ : ${\displaystyle 10}$ et ${\displaystyle 11}$ sont des majorants alors que ${\displaystyle 0}$ et ${\displaystyle -1}$ sont des minorants.
• ${\displaystyle [0,+\infty [}$ n'a pas de majorant dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Notes et références

Notions connexes

• Borne supérieure et borne inférieure
• Élément maximal
• Plus grand élément

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