Module d'inertie

Le module de section est un élément indispensable pour le calcul de la résistance à la rupture de différents matériaux. Il dépend de la forme, de la section de ces matériaux et est complémentaire au moment quadratique^,.

• Le moment quadratique est une grandeur qui caractérise la géométrie d'une section et se définit par rapport à un axe ou un point.

Matériaux de forme cylindrique

• Cylindre plein (fig. 9) :

Moment quadratique sur axe xx' (flexion) : ${\displaystyle Ixx'={\frac {\pi \cdot D^{4}}{64}}}$ et le Module de flexion : ${\displaystyle {Ixx' \over v}={\frac {\pi \cdot D^{3}}{32}}}$

Moment quadratique au centre O (torsion) : ${\displaystyle Io={\frac {\pi \cdot D^{4}}{32}}}$ et le Module de torsion : ${\displaystyle {Io \over v}={\frac {\pi \cdot D^{3}}{16}}}$

• Cylindre creux (fig. 10) :

Moment quadratique sur axe xx' (flexion) : ${\displaystyle Ixx'={\frac {\pi \cdot (D^{4}-d^{4})}{64}}}$ et le Module de flexion : ${\displaystyle {Ixx' \over v}={\frac {\pi \cdot (D^{4}-d^{4})}{32\cdot D}}}$

Moment quadratique au centre O (torsion) : ${\displaystyle Io={\frac {\pi \cdot (D^{4}-d^{4})}{32}}}$ et le Module de torsion : ${\displaystyle {Io \over v}={\frac {\pi \cdot (D^{4}-d^{4})}{16\cdot D}}}$

• Tube faible épaisseur (fig. 11) :

Moment quadratique (flexion) ${\displaystyle Igz={\pi \cdot {R^{3}}\cdot e}}$

Moment quadratique au centre O (torsion) ${\displaystyle Io={\ 2\cdot \pi \cdot {R^{3}}\cdot e}}$

• Arbre avec rainure de clavette (fig.12) :

Moment quadratique ${\displaystyle Io\approx 0,1\cdot {d^{4}}-{\frac {a\cdot b\cdot {d^{2}}}{4}}}$

Matériaux sphériques

• Sphère (fig. 16) de masse ${\displaystyle m}$ :

Moment d’inertie par rapport à l’axe ${\displaystyle Ixx'}$

${\displaystyle Ixx'={\frac {1}{2}}\cdot m\cdot {R^{2}}}$

• Sphère (fig.17) par rapport à un axe extérieur ${\displaystyle Iyy'}$

${\displaystyle Iyy'={\frac {1}{2}}\cdot m\cdot {R^{2}}+(m\cdot {L^{2}})}$

Matériaux parallélépipédiques

• Parallélépipède (fig.1) par rapport sa base ${\displaystyle xx'}$

Moment quadratique : ${\displaystyle Ixx'={\frac {b\cdot {h^{3}}}{3}}}$ et module d’inertie : ${\displaystyle {Ixx' \over v}={\frac {2}{3}}\cdot b\cdot {h^{2}}}$

• Parallélépipède (fig. 2) par rapport à l’axe ${\displaystyle xx'}$ passant par son centre :

Moment quadratique : ${\displaystyle Ixx'={\frac {b\cdot {h^{3}}}{12}}}$ et module d’inertie : ${\displaystyle {Ixx' \over v}={\frac {b\cdot {h^{2}}}{6}}}$

• Parallélépipède (fig. 3) en son centre ${\displaystyle G}$ :

Moment quadratique (torsion) : ${\displaystyle I_{G}={\frac {b\cdot h}{12}}\cdot (b^{2}+h^{2})}$

• Parallélépipède percé (fig. 4) par rapport à l’axe ${\displaystyle xx'}$ :

Module d’inertie : ${\displaystyle >{Ixx' \over v}={\frac {b}{6h}}\cdot (h^{3}-d^{3})}$

Divers matériaux profilés

• Profilé en T (fig. 14)  :

Moment quadratique : ${\displaystyle I={\frac {(b'\cdot h^{3})+(b\cdot h'^{3})}{12}}}$ et module d’inertie : ${\displaystyle {I \over v}={\frac {(b\cdot h^{3})+(b'\cdot h'^{3})}{6h}}}$

• Profilé en I (fig. 15)  :

Moment quadratique : ${\displaystyle I={\frac {(b\cdot h^{3})-2(b'\cdot h'^{3})}{12}}}$ et module d’inertie : ${\displaystyle {I \over v}={\frac {(b\cdot h^{3})-2(b'\cdot h'^{3})}{6h}}}$

• Profilé tube carré (fig. 5)  :

Moment quadratique : ${\displaystyle I={\frac {(b\cdot h^{3})-(b'\cdot h'^{3})}{12}}}$ et module d’inertie : ${\displaystyle {I \over v}={\frac {(b\cdot h^{3})-(b'\cdot h'^{3})}{6h}}}$

• Profilé en U (fig. 6)  :

Moment quadratique : ${\displaystyle I={\frac {(b\cdot h^{3})-(b'\cdot h'^{3})}{12}}}$ et module d’inertie : ${\displaystyle {I \over v}={\frac {(b\cdot h^{3})-(b'\cdot h'^{3})}{6h}}}$

• Profilé carré plein (fig. 7)  :

Moment quadratique à l’axe ${\displaystyle xx'}$ : ${\displaystyle Ixx'={\frac {a^{4}}{12}}}$ et module d’inertie : ${\displaystyle {Ixx' \over v}={\frac {a^{3}}{6}}}$

Moment quadratique au centre ${\displaystyle O}$ (torsion) : ${\displaystyle Io={\frac {a^{4}}{6}}}$

• Profilé triangulaire (fig. 8)  :

Moment quadratique à l’axe ${\displaystyle xx'}$ : ${\displaystyle Ixx'={\frac {b\cdot h^{3}}{36}}}$

Notes et références

Voir aussi