11 (nombre)

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« Onze » redirige ici. Cet article concerne le nombre 11. Pour l'année, voir 11.

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Pour les articles homonymes, voir Onze (homonymie).

10 —11— 12
Cardinal onze
Ordinal onzième
11e
Préfixe grec hendéca
Préfixe latin undéci
Adverbe onzièmement
Adverbe d'origine
latine
undecimo
Multiplicatif d'origine
latine
undecies
Propriétés
Facteurs premiers 11 (nombre premier)
Diviseurs 1, 11
Système de numération base 11, undécimal
Autres numérations
Numération romaine XI
Numération indo-arabe ١١
Système binaire 1011
Système octal 13
Système duodécimal B
Système hexadécimal B

Le nombre 11 (onze) est l’entier naturel qui suit 10 et qui précède 12.

En mathématiques

Le nombre 11 est :

Le nombre 11 est également :


11 ouvre la série des répunits premiers, dont seuls sept représentants sont connus (Rn désigne le répunit écrit avec n « 1 ») : R2 = 11, R19, R23, R317, R1031, R49081 et R86453.

Par ailleurs, il forme :

Un polygone à onze côtés est un hendécagone ou « undecagone ». On emploie l'adjectif « hendécagone » ou « endécagone » ou « hendécagonal ».

On ne peut pas construire avec exactitude un hendécagone avec une règle et un compas car 11 n'est pas un nombre premier de Fermat (démontré par Gauss).

En base treize et en des bases plus élevées (comme dans le système hexadécimal), 11 est représenté par la lettre B, quand 10 est représenté par A. Cependant, dans le système duodécimal, 11 est parfois représenté par la lettre E et 10 par la lettre T.

Procédés de calcul

On faisait grand cas autrefois, avant la calculette, des moyens ou "trucs" permettant de mémoriser facilement ou d'obtenir plus vite des résultats d'opérations.

À cet égard, la table de multiplication par 11 a ravi des générations de petits écoliers : pour avoir le résultat, il suffit de doubler le chiffre du multiplicande.

Multiplicande à 1 chiffre :

1 × 11 = 11
2 × 11 = 22
3 × 11 = 33
4 × 11 = 44
5 × 11 = 55
6 × 11 = 66
7 × 11 = 77
8 × 11 = 88
9 × 11 = 99

Multiplicande à 2 chiffres :

1/ La somme des 2 chiffres ne dépasse pas 9 :

On intercale cette somme entre les deux chiffres du multiplicande.

Exemple : 54 × 11 ? somme des chiffres : 5 + 4 = 9 ? interposition : 5 / 9 / 4 ? résultat : 594

2/ La somme des 2 chiffres dépasse 9 :

Même principe et on additionne le chiffre des dizaines de la somme à celui des dizaines du multiplicande.

Exemple : 89 × 11 ? somme des chiffres : 8 + 9 = 17 ? interposition : 8 / 17 / 9 ? addition du chiffre des dizaines de la somme au chiffre des dizaines du nombre : 8 + 1 = 9 / 7 / 9 ? résultat : 979

Multiplicande à 3 chiffres :

La procédure devient plus longue à expliquer qu'à appliquer ! Elle reste très simple.

1/ La somme des 3 chiffres ne dépasse pas 9 :

On additionne le chiffre central au chiffre de gauche puis de droite. On juxtapose les deux résultats. Le nombre à deux chiffres obtenu prend la place du chiffre du milieu.

Exemple : 135 × 11 ? addition gauche : 1 + 3 = 4 ? addition droite : 3 + 5 = 8 ? juxtaposition : 48 ? placement au centre : 1 / 48 / 5 ? résultat : 1485

2/ La somme des 3 chiffres dépasse 9 :

Idem. On obtient deux nombres à deux chiffres. On juxtapose. On place au centre. On réduit par addition les deux premiers segments de deux chiffres.

Exemple : 689 × 11 ? addition gauche : 6 + 8 = 14 ? addition droite : 8 + 9 = 17 ? juxtaposition : 1417 ? placement au centre : 6 / 1417 / 9 ? réduction 1er segment : 6 + 1 = 7 ? réduction 2e segment : 4 + 1 = 5 ? résultat : 7579

Multiplicande à n chiffres :

On reproduit le même principe n - 1 fois.

Ou encore :

On multiplie le nombre (à 3 chiffres ou plus) par 10 et on ajoute le nombre.

Exemple : 3197 × 11 ? multiplication par 10 : 31970 ? Addition du nombre : 31970 + 3197 ? Résultat : 35067

Étymologies

Parce que nous avons dix doigts, la numération en base 10 est quasi universelle. Les 10 premiers nombres entiers sont distinctement nommés. Mais comment désigner le 11e ?

Étymologiquement, on distingue deux grands types de dénominations : certaines langues disent : "un-dix", d’autres : "dix-un" (en simple juxtaposition ou avec un connecteur).

Exemples en "1 + 10"

Sanskrit : ekadasa (un-dix).
Grec : hendeca (un-dix).
Latin : undecim (un-dix) dont découlent onze (français), undici (italien), once (espagnol), un spre zece (roumain).
Germanique : par exemple einlif (vieux haut allemand)•••, elf (allemand, néerlandais), eleven (anglais).
Celtique : par exemple oin deec (irlandais), un ar dec (gallois), unnek (breton) etc.

••• lif désigne "le reste", "ce qui a été laissé" (to leave) au sens de "mis en réserve auparavant", c'est-à-dire 10.

Exemples en "10 + 1"

Turc : on bir (dix-un). Tibétain : bcu-gcig (dix-un). Mongol : arban nigän (dix-un). Chinois : shi yï (dix-un). Aztèque : matlactli-on-ce (dix et un) etc.

On peut affirmer que le "passage à 11" marque une étape essentielle dans la conception d'un système de numération. Il fonde le principe de la base, laquelle n'est autre que le nombre d'unités qu'il est nécessaire de grouper à l'intérieur d'un ordre donné pour former une unité de l'ordre immédiatement supérieur (Georges Ifrah).

Exceptionnellement, l’étymologie révèle d’autres structures.

Exemples autres

Turc archaïque : bir yegirmi (un-vingt) à interpréter comme « la 1re unité avant 20 » ou « 1er dans la tranche qui aboutit à 20 » par un décompte anticipatif. Api des Nouvelles-Hébrides : lualuna tai (littéralement : deux mains-un) à interpréter comme 2 × 5 (la main ou 5 étant la base du système) + 1.

Dans des techniques de calcul archaïques procédant par repérage de parties du corps, la valeur 11 suivant celle des dix doigts se retrouve souvent associée à un petit orteil. Par exemple chez les Indiens Lengua du Chaco, au Paraguay, 11 est signifié comme "arrivé au pied–un".

Cependant, on ne passe pas forcément d’une main à l’autre jusqu’à 10. Si le dénombrement commence toujours avec les doigts d'une main, il peut se poursuivre selon toutes sortes de parcours à travers le corps. C’est ainsi que la valeur 11 s’est, entre autres, retrouvée associée au nez (Papous de Nouvelle-Guinée), au pectoral gauche (Elema de Nouvelle-Guinée), au coude gauche (Indiens du détroit de Torrès) etc.

Synonymie numérale

Le sanskrit a joué et joue encore en Inde et en Asie du Sud-est un rôle comparable à celui du latin et du grec en Europe. Il imprègne tous les domaines de la connaissance. Son système numérique est étonnant en ce qu’il autorise toutes sortes de synonymes (symboliques, métaphoriques…) pour désigner les nombres.

À titre d’exemple, 11 - ekadasa en langage ordinaire - est aussi Bhava ("L’Eau"), Ishvara ("Le Seigneur de l’Univers"), Mahâdeva ("Le Grand Dieu"), Shulin ("Le Maître des animaux")…etc.

La clef de ces attributions est le dieu Shiva en personne (autre synonyme), l’une des trois divinités majeures hindoues, émanation de Rudra (" Le Rouge" ou "Le Grondeur" ou "Le Violent" ou "Le Seigneur des larmes", synonymes), lui-même personnification des onze souffles vitaux nés du front de Brahmà.

Au fil de l'Histoire


Dans le christianisme

Le nombre 11 s'articule très souvent avec 12. Si 12 évoque toujours l'image d'une perfection céleste, il semble que cette perfection - par cette raison même - soit difficile à réaliser sur terre. Intervient alors le 11, comme " marque de contingence terrestre" sur la route de la perfection. Une unité temporaire, une recherche, un travail. (De façon analogue, le 6 des six jours de la Semaine s'articule au 7 de l'ensemble achevé avec le dimanche.)

Ainsi, le groupe initial des 12 apôtres perd l'un de ses membres en la personne de Judas, et avant que celui-ci soit remplacé, la communauté devient celle des "Onze". Ce sont eux qui vivent les temps de la Passion et la Résurrection.

Il y a d'ailleurs onze Évangiles de la Résurrection, c'est-à-dire que, dans les quatre Évangiles, on trouve onze passages distincts se rattachant à la Résurrection. Onze apôtres meurent martyrs. L'exception est Jean.

Dans le Chemin de Croix des 14 Stations dites "traditionnelles", la IVe Station est la rencontre de Jésus avec sa Mère.

La Vierge Marie est donc présente à onze Stations.

(1. Jésus est condamné à mort 2. Jésus est chargé de sa Croix 3. Jésus tombe sous le poids de sa Croix 4. Jésus rencontre sa Mère 5. Simon de Cyrène aide Jésus à porter sa Croix 6. Une femme pieuse essuie la face de Jésus 7. Jésus tombe pour la seconde fois 8. Jésus console les filles de Jérusalem 9. Jésus tombe pour la troisième fois 10. Jésus est dépouillé de ses vêtements 11. Jésus est cloué sur la Croix 12. Jésus meurt sur la Croix 13. Jésus est descendu de la Croix et remis à sa Mère 14. Jésus est mis au tombeau.)

Article détaillé : Ouvriers de la onzième heure.
  1. Car le royaume des cieux est semblable à un maître de maison qui sortit de grand matin afin d'embaucher des ouvriers pour sa vigne.
  2. Étant convenu avec les ouvriers d'un denier par jour, il les envoya à sa vigne.
  3. Il sortit vers la troisième heure, en vit d'autres qui se tenaient sur la place sans rien faire,
  4. et leur dit: " Allez, vous aussi, à ma vigne, et je vous donnerai ce qui sera juste. "
  5. Et ils y allèrent. Il sortit encore vers la sixième et la neuvième heure, et fit la même chose.
  6. Étant sorti vers la onzième (heure), il en trouva d'autres qui stationnaient, et il leur dit: " Pourquoi stationnez-vous ici toute la journée sans rien faire? "
  7. Ils lui disent: " C'est que personne ne nous a embauchés. " Il leur dit: " Allez, vous aussi, à la vigne. "
  8. Le soir venu, le maître de la vigne dit à son intendant: " Appelle les ouvriers et paie-leur le salaire, en commençant par les derniers jusqu'aux premiers. "
  9. Ceux de la onzième heure vinrent et reçurent chacun un denier.
  10. Quand vinrent les premiers, ils pensèrent qu'ils recevraient davantage; mais ils reçurent, eux aussi, chacun un denier.
  11. En le recevant, ils murmuraient contre le maître de maison, disant:
  12. " Ces derniers n'ont travaillé qu'une heure, et tu les as traités comme nous, qui avons porté le poids du jour et la chaleur. "
  13. Mais lui, s'adressant à l'un d'eux, répondit: " Ami, je ne te fais point d'injustice: n'es-tu pas convenu avec moi d'un denier?
  14. Prends ce qui te revient, et va-t'en. Je veux donner à ce dernier autant qu'à toi.
  15. Ne m'est-il pas permis de faire en mes affaires ce que je veux? Ou ton œil sera-t-il mauvais parce que, moi, je suis bon?
  16. Ainsi les derniers seront premiers, et les premiers derniers. "

Un rapprochement est possible avec le verset 11 du chapitre 11 de L'Ecclésiastique : "Il en est qui peinent, se fatiguent et se hâtent pour n'en être que mieux distancés."

11 nombres sont communs aux quatre Evangiles : 1 2 3 5 6 7 10 12 30 100 5 000 (On les rencontre au moins une fois dans chacun d'eux).

Ursule était la fille d’un roi breton (Notlhus, Maurus ?) de la fin duIIIe - début du IVe siècle. Elle fut demandée en mariage par un prince de Grande-Bretagne, ou d'outre-Rhin, non converti au christianisme. Ursule voulait rester chrétienne. Elle le rebuta. Plusieurs de ses amies à qui d’autres princes avaient fait la même demande rejetèrent le mariage pour la même raison. Risquant d’attirer des représailles contre leurs pères, elles décidèrent de fuir. Elles se rendirent d’abord en pèlerinage à Rome puis s’embarquèrent sur le Rhin à destination de Cologne. Une tempête les jeta sur les rives du fleuve où elles furent capturées par les Huns. Refusant d’abjurer leur foi, elles furent martyrisées et mises à mort.

Faute de documents avérés, tout ce récit, qui connaît des variantes, est, on le conçoit, à mettre au conditionnel.

En 1155, on découvrit dans une église de Cologne (aujourd’hui sous le vocable de Sainte Ursule) une inscription latine, gravée sur un mur du Ve siècle, faisant allusion à un massacre de jeunes vierges au IIIe siècle, avec, entre autres, les chiffres (ou lettres ?) XIMV. Aucun nom. Comme on retrouva à proximité des ossements de jeunes femmes, vieux de plusieurs siècles, on attribua ceux-ci à Ursule et à ses compagnes de voyage.

C’est au XIe siècle que le nombre des compagnes d’Ursule, les vierges martyres, fut fixé à 11 000.

Deux hypothèses tentent d’expliquer ce nombre, il faut bien l’avouer, tant soit peu excessif.

Il est d’abord possible que les gens de l’époque aient interprété l’inscription XIMV, comme "XI Mille Vierges" (M notant 1000 dans la numération romaine) alors qu’il eût fallu comprendre "XI = onze M = Martyres V = Vierges", selon un mode d’abréviation banal dans les inscriptions lapidaires. (S'il en est ainsi, on peut supposer dix compagnes à Ursule.)

Une autre hypothèse est que le prénom d’Undecimilla de l’une des compagnes d’Ursule engendra la confusion.

Sainte Ursule et les Onze Mille Vierges ont été extrêmement populaires au Moyen Âge dans le Nord de la France, en Allemagne, aux Pays-Bas et en Italie. Elle est la patronne des jeunes filles et des drapiers.

Le calendrier grégorien a fixé la date d’anniversaire de sainte Ursule et des Onze Mille Vierges au . Lorsque le navigateur portugais José Alvarez Faguendes découvrit, le , l’archipel de Saint-Pierre-et-Miquelon, il donna aux îles le nom de "Onze mille Vierges", selon un usage suivi par d’autres navigateurs en d’autres occasions.

Dans sa très longue journée (qui commençait à 1 heure du matin par la confession des femmes), le curé d'Ars, saint Jean-Marie Vianney, enseignait le catéchisme entre 11 heures et midi. C'était le fameux "catéchisme de onze heures", que beaucoup d'adultes venaient écouter.

Islam

Carnaval rhénan

Le nombre 11 tient une place si spectaculaire dans le Carnaval rhénan qu’il mérite un développement spécifique.

Depuis des temps immémoriaux, les peuples ont fêté le solstice d’hiver pour chasser les mauvais esprits. Le correspond à la Saint Martin. Ce jour-là, dans la tradition, on allumait les premiers feux de l’hiver.

Le Carnaval rhénan commence très officiellement le 11 / 11 à 11 h 11. Une commission de 11 personnes établit les 11 commandements qu’il faudra respecter pendant toute la durée du carnaval. C’est un honneur d’en faire partie. On est alors un onzier.

Le Carnaval dure jusqu’au Mercredi des Cendres. La dernière semaine, la Semaine des Fous (les Narren), est celle des folles festivités. D’abord, le jeudi précédent la semaine du Mardi Gras, c’est le Jour des Femmes. Elles arpentent les rues et coupent les cravates des hommes. Le dimanche, le Prince Carnaval prend possession des clefs de la ville. Son règne doit durer trois jours. Le lundi, c’est le Rosenmontag ("Lundi des Roses"), grand rendez-vous du défilé carnavalesque. À la fin des cortèges, tout le monde se retrouve sur la place de la ville pour faire cuire le cochon engraissé depuis le 11 / 11.

En allemand, 11 se dit Elf. On a pu faire le rapprochement avec la devise de la République Française : Liberté Égalité Fraternité. Si l’on fait passer l’égalité en premier – ce qui est le programme carnavalesque même – l’acrostiche de la devise devient Egalité Liberté Fraternité : ELF, c’est-à-dire onze.

Cette relation – plutôt qu’explication – pourrait remonter à l’occupation de la Rhénanie par les armées révolutionnaires de Napoléon, et à l’instauration du français comme langue officielle.

Des valeurs de subversion, de dérision (des Dix commandements, de la majestueuse solennité du 12… etc.) jouent nécessairement un rôle dans son utilisation emblématique.

Occurrences diverses

En français

Pierre Michon: Les Onze (2011)

Exemple de poème en vers hendécasyllabiques :

Arthur Rimbaud, Larme, .
Loin des oiseaux, des troupeaux, des villageoises,
Je buvais, accroupi dans quelque bruyère
Entourée de tendres bois de noisetiers,
Par un brouillard d'après-midi tiède et vert.
Que pouvais-je boire dans cette jeune Oise,
Ormeaux sans voix, gazon sans fleurs, ciel couvert.
Que tirais-je à la gourde de colocase ?
Quelque liqueur d'or, fade et qui fait suer.
Tel, j'eusse été mauvaise enseigne d'auberge,
Puis l'orage changea le ciel jusqu'au soir.
Ce furent des pays noirs, des lacs, des perches,
Des colonnades sous la nuit bleue, des gares.
L'eau des bois se perdait sur des sables vierges,
Le vent, du ciel, jetait des glaçons aux mares…
Or ! tel qu'un pêcheur d'or ou de coquillages,
Dire que je n'ai pas eu souci de boire !

Toponymes

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « 11 (number) » (voir la liste des auteurs).
  1. ↑ Tout nombre palindromique ayant un nombre pair de chiffres est divisible par 11.
  2. ↑ « Séisme de Sendai au Japon | INSTITUT DE PHYSIQUE DU GLOBE DE PARIS », sur www.ipgp.fr (consulté le )
  3. ↑ « 11 septembre 1973: le général Pinochet prend le pouvoir au Chili », sur LEFIGARO, (consulté le )

Annexes

Ouvrages

Liens externes

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Almanach et dictionnaire des nombres (site de Gérard Villemin)