Optimisation topologique

Énoncé

Le problème général d'optimisation topologique est posé comme

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Trouver}}\quad &\min _{\rho }{\mathcal {J}}(u(\rho ),\rho )\\{\text{sujet à}}\quad &G_{0}(\rho )=\int _{\Omega }\rho {\text{d}}V-V_{\text{max}}\leq 0\\&G_{i}(\rho )\leq 0\quad (i\geq 1)\end{aligned}}}$

où

• La variable de conception (design) ${\displaystyle \rho$ :\Omega \rightarrow [0,1]} est la densité du matériau. 1 signifie présence de matériau et 0 signifie absence de matériau. La variable d'état ${\displaystyle u(\rho )}$ est la solution à une équation différentielle qui modélise le phénomène en jeu, selon le design ${\displaystyle \rho }$ (généralement les équations d'élasticité);
• ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ est la fonctionnelle coût. Elle représente une quantité d'intérêt qu'on veut minimiser ou maximiser (généralement la flexibilité ou la rigidité);
• ${\displaystyle \Omega }$ est l'espace de conception, c'est-à-dire l'ensemble des points qui sont sujets à l'optimisation;
• Les contraintes ${\displaystyle G_{i}}$ permettent d'imposer des particularités à la forme finale. Par exemple, ${\displaystyle G_{0}}$ impose une contrainte sur la quantité maximale ${\displaystyle V_{\text{max}}}$ de matériau à avoir.

Interpolation des propriétés matérielles

Résoudre ce problème vise à déterminer une répartition optimale du matériau dans l'espace de conception ${\displaystyle \Omega }$. Le module de Young ${\displaystyle E}$ est la propriété qui quantifie la capacité d'un matériau à se déformer. Cette caractéristique doit être interpolée selon la densité ${\displaystyle \rho }$ (les endroits où il y a présence de matériau sont rigides, contrairement à ceux où il y a du vide). Par exemple, l'approche SIMP (Solid Isotropic Material with Penalization) utilise une loi de puissance pour déterminer le module de Young selon la densité en un point:

${\displaystyle E(\rho )=E_{\text{min}}+\rho ^{p}(E-E_{\text{min}})}$

Le paramètre ${\displaystyle p}$ (typiquement ${\displaystyle p=3}$) pénalise les valeurs entre 0 et 1 pour obtenir un résultat binaire. ${\displaystyle E_{\text{min}}}$ est pris très près de 0 pour représenter le vide, mais non nul pour éviter les termes nuls dans la matrice de résolution de la méthode des éléments finis.

D'autres approches sont utilisées, comme la méthode RAMP, qui passe par une interpolation rationnelle.

Caractérisation de l'optimalité

L'annulation du gradient en un point est une condition nécessaire à l'optimalité dans un problème sans contrainte. La dérivée au sens de Gateaux permet de calculer le gradient d'une fonctionnelle dans une direction ${\displaystyle \delta }$:

${\displaystyle d{\mathcal {J}}(\rho$ ;\delta )=\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {{\mathcal {J}}(\rho +t\delta )-{\mathcal {J}}(\rho )}{t}}=(\nabla {\mathcal {J}}(\rho ),\delta )}

Une solution analytique à ce problème est difficile à obtenir. Les méthodes numériques d'optimisation comme la descente du gradient utilisent ${\displaystyle \nabla {\mathcal {J}}}$ pour obtenir des designs presque optimaux. Les contraintes peuvent être prises en compte dans ces algorithmes en utilisant diverses techniques de pénalisation.

Articles connexes

• Optimisation (mathématiques)
• Optimisation de forme
• Biomimétique
• Impression 3D
• PERMAS, logiciel commercial de calcul et d'optimisation de structures par optimisation multimodale, incluant l'optimisation topogique

Liens externes

• Topopt Research Group, site d'un groupe de recherche universitaire très complet sur l'optimisation topologique.
• Topostruct, logiciel gratuit d'optimisation topologique.
• Inspire, logiciel commercial d'optimisation de structures, en particulier par optimisation topologique
• Animations d'optimisation topologique
• TOPOPTIM, procédure d'optimisation topologique implémentée dans le code éléments finis CAST3M
• OptiStruct, logiciel commercial d'optimisation de structures, en particulier par optimisation topologique
• PERMAS, logiciel commercial de calcul et d'optimisation de structures par optimisation multimodale, incluant l'optimisation topogique

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