Plan euclidien Cercle dessiné dans un plan euclidien (Ox, Oy). En mathématiques élémentaires , le plan euclidien est un plan identifiable à l'espace affine euclidien dont l'ensemble sous-jacent est le produit cartésien de
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
nombres réels , par lui-même, soit l'ensemble des duplets de nombres réels :
R
×
R
=
{
(
x
,
y
)
|
x
∈
R
e
t
y
∈
R
}
.
{\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} =\{(x,y)|x\in \mathbb {R} ~\mathrm {et} ~y\in \mathbb {R} \}.}
Le nom de « plan euclidien » peut être vu comme abusif, on peut parler d'espace euclidien de dimension 2.
Le plan euclidien
Topologie concepts de base illustrations. Les applications
+
,
⋅
et
(
.
|
.
)
{\displaystyle +,\cdot {\text{ et }}(.|.)}
(
R
2
,
+
,
.
,
(
.
|
.
)
)
{\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{2},+,.,(.|.)\right)}
+
:
R
2
×
R
2
→
R
2
,
(
(
x
,
y
)
,
(
x
′
,
y
′
)
)
↦
(
x
+
x
′
,
y
+
y
′
)
{\displaystyle +:\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2},((x,y),(x',y'))\mapsto (x+x',y+y')}
⋅
:
R
×
R
2
→
R
2
,
(
λ
,
(
x
,
y
)
)
↦
(
λ
x
,
λ
y
)
{\displaystyle \cdot :\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2},(\lambda ,(x,y))\mapsto (\lambda x,\lambda y)}
(
.
|
.
)
:
R
2
×
R
2
→
R
;
(
(
x
,
y
)
,
(
x
′
,
y
′
)
)
↦
x
x
′
+
y
y
′
{\displaystyle (.|.):\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ;\left((x,y),(x',y')\right)\mapsto xx'+yy'}
Le produit scalaire permet de définir la structure topologique d'espace métrique du plan euclidien.
Ce plan est identifié au plan complexe , où l'on a défini en plus un produit interne
×
:
R
2
×
R
2
→
R
2
,
(
(
x
,
y
)
,
(
x
′
,
y
′
)
)
↦
(
x
x
′
−
y
y
′
,
x
y
′
+
y
x
′
)
{\displaystyle \times :\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2},\left((x,y),(x',y')\right)\mapsto (xx'-yy',xy'+yx')}
Un repère orthonormé de ce plan est constitué d'un point origine et de deux vecteurs orthogonaux de norme 1. Il est utilisé par exemple pour la représentation graphique de courbes planes .
Historique
Le développement rapide de la géométrie analytique , notamment dès le XVII e siècle grâce à René Descartes et Pierre de Fermat , a peu à peu convaincu de la possibilité de substituer un espace affine par
R
2
,
R
3
,
R
4
,
.
.
.
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2},\mathbb {R} ^{3},\mathbb {R} ^{4},...}
géométrie projective au XIX e siècle a permis de comprendre la raison profonde de ces identifications, .
1 2 Jean Frenkel, Géométrie pour l'élève professeur , Paris, Hermann , 1973 , p. 13 ↑ Jean Dieudonné , Algèbre linéaire et géométrie élémentaire , Hermann , Paris, 1964 , Annexe II
