En mathématiques, un processus de Bessel est, dans sa version à n dimensions, la solution de l'équation différentielle stochastique :
où est un processus de Wiener (mouvement brownien) unidimensionnel. Il est nommé en l'honneur de Friedrich Wilhelm Bessel.
Le processus de Bessel d'ordre n est un processus à valeurs réelles X défini (pour n ≥ 2) par :
où ||·|| désigne la norme euclidienne dans Rn et W est un processus de Wiener dans un espace à n dimensions. Il convient de noter que cette équation a un sens pour tout paramètre réel n bien que le terme de dérive soit singulier en zéro.
On note BES0(n) un processus de Bessel de dimension n partant de zéro.
Pour n ≥ 2, le processus de Wiener à n dimensions partant de l'origine est transitoire par rapport à son point de départ : avec probabilité 1, on a Xt > 0 pour tout t > 0. Il est cependant récurrent au voisinage de l'origine pour n = 2, ce qui signifie qu'avec probabilité 1, pour tout r > 0, il existe des instants t arbitrairement grands tels que Xt < r ; en revanche, il est véritablement transitoire pour n > 2, ce qui signifie que Xt ≥ r pour tout t suffisamment grand.
Pour n ≤ 0, le processus de Bessel est généralement initialisé en des points autres que 0, car la dérive vers 0 est si forte que le processus reste « bloqué » en 0 dès qu'il l'atteint.
Les processus de Bessel de dimension 0 et 2 sont liés aux temps locaux du mouvement brownien par l'intermédiaire des théorèmes de Ray-Knight (en). La loi d'un mouvement brownien au voisinage de ses extrema est celle d'un processus de Bessel de dimension 3 (formule de Tanaka).
