Q-exponentielle

En mathématiques combinatoires, une q-exponentielle est un q-analogue de la fonction exponentielle, à savoir la fonction propre d'un opérateur de q-dérivation. Il existe de nombreuses q-dérivées, par exemple la q-dérivée classique, l'opérateur d'Askey-Wilson, etc. Par conséquent, contrairement à l'exponentielle classique, les q-exponentielles ne sont pas uniques. Par exemple, $e_{q}(z)$ est la q-exponentielle correspondant à la q-dérivée classique tandis que ${\mathcal {E}}_{q}(z)$ sont des fonctions propres des opérateurs d'Askey-Wilson.

La q-exponentielle est également connue sous le nom de dilogarithme quantique^,.

Définition

La q-exponentielle $e_{q}(z)$ correspondant à la q-dérivée classique est définie par

e_{q}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!_{q}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}(1-q)^{n}}{(q;q)_{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}{\frac {(1-q)^{n}}{(1-q^{n})(1-q^{n-1})\cdots (1-q)}}

où $n!_{q}$ est la q-factorielle et

(q;q)_{n}=(1-q^{n})(1-q^{n-1})\cdots (1-q)

est le q-symbole de Pochhammer. Qu'il s'agisse du q-analogue de l'exponentielle découle de la propriété

\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\right)_{q}e_{q}(z)=e_{q}(z)

où la dérivée dans le membre de gauche est la q-dérivée. Ce qui précède est facilement vérifié en considérant la q-dérivée du monôme

\left({\frac {d}{dz}}\right)_{q}z^{n}=z^{n-1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=[n]_{q}z^{n-1},

où ici, $[n]_{q}$ est le q-symbole de Pochhammer. Pour d'autres définitions de la fonction q-exponentielle, voir Exton (1983), Ismail & Zhang (1994) et Cieśliński (2011) .

Propriétés

Pour tout réel $q>1$ , la fonction $e_{q}(z)$ est une fonction entière de $z$ . Pour $q<1$ , $e_{q}(z)$ est régulière sur le disque $|z|<1/(1-q)$ .

La fonction et son inverse sont liées par $~e_{q}(z)~e_{1/q}(-z)=1$ .

Formule d'addition

L'analogue de la relation $\exp(x)\exp(y)=\exp(x+y)$ n'est pas réalisée pas pour $x$ et $y$ réels . Cependant, s'il s'agit d'opérateurs satisfaisant la relation de commutation $xy=qyx$ , alors la relation $e_{q}(x)e_{q}(y)=e_{q}(x+y)$ est exacte.

Relations

Pour $-1<q<1$ , une fonction étroitement liée est $E_{q}(z).$ C'est un cas particulier des séries hypergéométriques basiques,

E_{q}(z)=\;_{1}\phi _{1}\left({\scriptstyle {0 \atop 0}}\,;\,z\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{\binom {n}{2}}(-z)^{n}}{(q;q)_{n}}}=\prod _{n=0}^{\infty }(1-q^{n}z)=(z;q)_{\infty }.

Il vient naturellement :

\lim _{q\to 1}E_{q}\left(z(1-q)\right)=\lim _{q\to 1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{\binom {n}{2}}(1-q)^{n}}{(q;q)_{n}}}(-z)^{n}={\rm {e}}^{-z}.

Relation avec le dilogarithme

$e_{q}(x)$ a la représentation en produit infini suivante :

e_{q}(x)=\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{1-q^{k}(1-q)x}}.

Comme d'autre part, $\ln(1-x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}$ , pour $|q|<1$ ,

{\begin{aligned}\ln e_{q}(x)&=-\sum _{k=0}^{\infty }\ln(1-q^{k}(1-q)x)\\&=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(q^{k}(1-q)x)^{n}}{n}}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {((1-q)x)^{n}}{(1-q^{n})n}}\\&={\frac {1}{1-q}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {((1-q)x)^{n}}{[n]_{q}n}}\end{aligned}}.

En prenant la limite lorsque $q\to 1$ ,

\lim _{q\to 1}(1-q)\ln e_{q}\left({\frac {x}{1-q}}\right)=\mathrm {Li} _{2}(x),

où $\mathrm {Li} _{2}(x)$ est le dilogarithme.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Q-exponential » (voir la liste des auteurs).

↑ (en) Wadim Zudilin, « Quantum dilogarithm », wain.mi.ras.ru, 14 mars 2006 (consulté le 16 juillet 2021)
↑ (en) L.D. Faddeev et R.M. Kashaev, « Quantum dilogarithm », Modern Physics Letters A, vol. 09, n^o 5,‎ 20 février 1994, p. 427–434 (ISSN 0217-7323, DOI 10.1142/S0217732394000447, Bibcode 1994MPLA....9..427F, arXiv hep-th/9310070, S2CID 119124642, lire en ligne)
↑ (en) V. Kac et P. Cheung, Quantum Calculus, Springer, 2011 (ISBN 978-1461300724), p. 31

Bibliographie

(en) Jan L. Cieśliński, « Improved q-exponential and q-trigonometric functions », Applied Mathematics Letters, vol. 24, n^o 12,‎ 2011, p. 2110–2114 (DOI 10.1016/j.aml.2011.06.009, arXiv 1006.5652, S2CID 205496812)
(en) Harold Exton, q-Hypergeometric Functions and Applications, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983 (ISBN 0853124914)
(en) George Gasper, Basic Hypergeometric Series, Cambridge University Press, 2004 (ISBN 0521833574)
(en) Mourad E. H. Ismail, Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable, Cambridge University Press, 2005 (ISBN 9780521782012, DOI 10.1017/CBO9781107325982)
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(en) Mourad E. H. Ismail, Mizan Rahman et Ruiming Zhang, « Diagonalization of certain integral operators II », Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 68, n^os 1–2,‎ 1996, p. 163–196 (DOI 10.1016/0377-0427(95)00263-4, CiteSeer^x 10.1.1.234.4251)
(en) F. H. Jackson, « On q-functions and a certain difference operator », Transactions of the Royal Society of Edinburgh, vol. 46, n^o 2,‎ 1909, p. 253–281 (DOI 10.1017/S0080456800002751, S2CID 123927312)

Portail de l'analyse

[1] (en) Wadim Zudilin, « Quantum dilogarithm », wain.mi.ras.ru, 14 mars 2006 (consulté le 16 juillet 2021)

[2] (en) L.D. Faddeev et R.M. Kashaev, « Quantum dilogarithm », Modern Physics Letters A, vol. 09, n^o 5,‎ 20 février 1994, p. 427–434 (ISSN 0217-7323, DOI 10.1142/S0217732394000447, Bibcode 1994MPLA....9..427F, arXiv hep-th/9310070, S2CID 119124642, lire en ligne)

[KacCheung-3] (en) V. Kac et P. Cheung, Quantum Calculus, Springer, 2011 (ISBN 978-1461300724), p. 31