Quadrique projective

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En mathématiques, plus précisément en géométrie, une quadrique projective ou hyperquadrique est une partie d'un espace projectif associée à une forme quadratique sur l'espace vectoriel dont cet espace projectif provient.

Généralités

Quadrique projective xz+y2=0 avec point à l'infini π(1,0,0)

Considérons par exemple la forme quadratique Q:ℝ3→ℝ,(x,y,z)↦xz+y2. Ici, l'espace vectoriel considéré est l'espace vectoriel réel ℝ3, l'espace projectif associé est P(ℝ3)=P2(ℝ), le plan projectif réel. On note alors π:ℝ3∖{0}→P2(ℝ),x↦Dx, la projection canonique. La quadrique projective associée à Q est par définition π(Q−1(0)−{0})={π(x,y,z):xz+y2=0,(x,y,z)∈ℝ3∖{0}}.

Une hyperquadrique est donc l'image d'un cône isotrope privé de l'origine. C'est l'ensemble des droites génératrices du cône.

L'étude des coniques projectives conduit par exemple au théorème de Pascal.

Points réguliers et propriétés remarquables

Conjugaison par rapport à une quadrique

Soit E un espace vectoriel réel, φ une forme quadratique de forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur E associée f, Q l'hyperquadrique associée. On dit que deux points π(x) et π(x′) sont conjugués par rapport à l' hyperquadrique Q si f(x,x′)=0.

Soit m=π(x). L'ensemble des points conjugués de m par rapport à Q s'appelle la polaire ou l'hyperplan polaire de m par rapport à Q.

Hyperplan tangent

Groupe d'une quadrique

Notes et références

  1. 1 2 Alfred Doneddu, Compléments de géométrie algébrique, tome 3 du cours de mathématiques supérieures et spéciales, Paris, Dunod, , 348 p., p. 210-
  2. 1 2 Michèle Audin, Géométrie, EDP Sciences, (ISBN 2-86883-883-9), p. 239-

Voir aussi