Rationnel de Gauss

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En mathématiques, un rationnel de Gauss^{[réf. nécessaire]} est un nombre complexe dont les parties réelle et imaginaire sont des nombres rationnels.

L'ensemble des rationnels de Gauss est donc

\{p+q\mathrm {i} \mid (p,q)\in \mathbb {Q} ^{2}\}.

C'est un sous-corps de ℂ, généralement noté ℚ( $i$ ) ou ℚ[ $i$ ].

Ces nombres tirent leur nom du mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss.

Propriétés

ℚ( $i$ ) est le corps de rupture du polynôme X² + 1 sur ℚ. C'est donc un corps quadratique imaginaire et un corps cyclotomique.
L'anneau des entiers de ℚ( $i$ ) est l'anneau ℤ[ $i$ ] des entiers de Gauss. Son discriminant est –4.
ℚ( $i$ ) n'est ni un corps totalement ordonnable, ni un espace complet pour la distance euclidienne usuelle, associée au module d'un nombre complexe (ou même pour n'importe quelle valeur absolue non triviale).

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Gaussian rational » (voir la liste des auteurs).

↑ (en)) Ian Stewart, David O. Tall, Algebraic Number Theory, Chapman & Hall, 1979, (ISBN 0-412-13840-9). Chap.3.
↑ (en) Keith Conrad, « Ostrowski's theorem for $Q(i)$ ».

Arithmétique et théorie des nombres