Relation de Reech

Énoncé

La relation de Reech s'écrit :

Relation de Reech : ${\displaystyle \gamma ={C_{P} \over C_{V}}={\chi _{T} \over \chi _{S}}}$

avec :

• ${\displaystyle \gamma }$ le coefficient de Laplace, utilisé dans la loi de Laplace ;
• ${\displaystyle C_{P}}$ la capacité thermique isobare ;
• ${\displaystyle C_{V}}$ la capacité thermique isochore ;
• ${\displaystyle \chi _{T}}$ le coefficient de compressibilité isotherme ;
• ${\displaystyle \chi _{S}}$ le coefficient de compressibilité isentropique.

Démonstration

Par définition :

${\displaystyle \gamma ={C_{P} \over C_{V}}}$

${\displaystyle C_{P}=T\left({\partial S \over \partial T}\right)_{P}}$

${\displaystyle C_{V}=T\left({\partial S \over \partial T}\right)_{V}}$

${\displaystyle \chi _{T}=-{1 \over V}\left({\partial V \over \partial P}\right)_{T}}$

${\displaystyle \chi _{S}=-{1 \over V}\left({\partial V \over \partial P}\right)_{S}}$

avec :

• ${\displaystyle T}$ la température ;
• ${\displaystyle P}$ la pression ;
• ${\displaystyle V}$ le volume ;
• ${\displaystyle S}$ l'entropie.

On a donc :

${\displaystyle \gamma ={C_{P} \over C_{V}}={\left({\partial S \over \partial T}\right)_{P} \over \left({\partial S \over \partial T}\right)_{V}}}$

En considérant les relations :

${\displaystyle \left({\partial S \over \partial T}\right)_{P}\left({\partial T \over \partial P}\right)_{S}\left({\partial P \over \partial S}\right)_{T}=-1}$

${\displaystyle \left({\partial S \over \partial T}\right)_{V}\left({\partial T \over \partial V}\right)_{S}\left({\partial V \over \partial S}\right)_{T}=-1}$

on a :

${\displaystyle \gamma ={\left({\partial T \over \partial V}\right)_{S}\left({\partial V \over \partial S}\right)_{T} \over \left({\partial T \over \partial P}\right)_{S}\left({\partial P \over \partial S}\right)_{T}}={\left({\partial V \over \partial S}\right)_{T}\left({\partial S \over \partial P}\right)_{T} \over \left({\partial V \over \partial T}\right)_{S}\left({\partial T \over \partial P}\right)_{S}}={\left({\partial V \over \partial P}\right)_{T} \over \left({\partial V \over \partial P}\right)_{S}}}$

On obtient donc la relation de Reech :

${\displaystyle \gamma ={C_{P} \over C_{V}}={\chi _{T} \over \chi _{S}}}$

À partir des isentropes et des isothermes

Dans un diagramme où le volume ${\displaystyle V}$ est porté en abscisse et la pression ${\displaystyle P}$ en ordonnée (diagramme de Clapeyron ou diagramme ${\displaystyle PV}$, voir figure ci-contre), on peut, entre autres, tracer pour un corps quelconque deux familles de courbes de l'évolution de ${\displaystyle P}$ en fonction de ${\displaystyle V}$ :

• les courbes isothermes, c'est-à-dire les courbes d'évolution à température constante ;
• les courbes isentropes, c'est-à-dire les courbes d'évolution à entropie du corps constante.

En un point de coordonnées ${\displaystyle \left(V,P\right)}$ quelconque, on a :

• la pente de l'isotherme passant par ce point : ${\displaystyle p_{T}=\left({\partial P \over \partial V}\right)_{T}}$ ;
• la pente de l'isentrope passant par ce point : ${\displaystyle p_{S}=\left({\partial P \over \partial V}\right)_{S}}$.

Ainsi :

${\displaystyle \gamma ={C_{P} \over C_{V}}={\chi _{T} \over \chi _{S}}={\left({\partial V \over \partial P}\right)_{T} \over \left({\partial V \over \partial P}\right)_{S}}={{1 \over p_{T}} \over {1 \over p_{S}}}={p_{S} \over p_{T}}}$

Graphiquement, on peut donc déterminer ${\displaystyle \gamma }$ pour un couple ${\displaystyle \left(V,P\right)}$ quelconque à partir des courbes isotherme et isentrope passant par ce point dans un diagramme de Clapeyron^, :

${\displaystyle \gamma \!\left(V,P\right)={{\text{pente de l'isentrope}} \over {\text{pente de l'isotherme}}}}$

La pente d'une isentrope en un point donné étant supérieure à celle de l'isotherme passant par le même point ${\displaystyle \gamma >1}$, soit ${\displaystyle C_{P}>C_{V}}$. Ceci est également prouvé par la relation de Mayer.

Expérimentalement, l'expérience de Clément-Desormes exploite la relation de Reech pour déterminer ${\displaystyle \gamma }$.

À partir de la vitesse du son

Soit ${\displaystyle c}$ la vitesse du son dans un milieu fluide (gaz ou liquide) homogène de masse volumique ${\displaystyle \rho }$, on a la relation :

${\displaystyle c={\sqrt {\left({\partial P \over \partial \rho }\right)_{S}}}}$

avec ${\displaystyle S}$ l'entropie. Pour une masse ${\displaystyle m}$ de milieu de volume ${\displaystyle V}$ :

${\displaystyle \rho ={m \over V}}$

${\displaystyle \left({\partial P \over \partial \rho }\right)_{S}={1 \over m}\left({\partial P \over \partial {1 \over V}}\right)_{S}={1 \over m}\left({\partial V \over \partial {1 \over V}}\right)_{S}\left({\partial P \over \partial V}\right)_{S}=-{V^{2} \over m}\left({\partial P \over \partial V}\right)_{S}=-{V \over \rho }\left({\partial P \over \partial V}\right)_{S}={1 \over \rho \,\chi _{S}}}$

avec, par définition :

${\displaystyle \chi _{S}=-{1 \over V}\left({\partial V \over \partial P}\right)_{S}}$

On a donc, avec la relation de Reech :

${\displaystyle c={\sqrt {1 \over \rho \,\chi _{S}}}={\sqrt {\gamma \over \rho \,\chi _{T}}}}$

Si l'on connait la vitesse du son ${\displaystyle c}$ dans le milieu, si l'on connait le coefficient de compressibilité isotherme ${\displaystyle \chi _{T}}$ et la masse volumique ${\displaystyle \rho }$ du milieu (qui peuvent tous deux être déterminés expérimentalement ou à partir d'une équation d'état), alors on peut calculer le coefficient de Laplace ${\displaystyle \gamma }$ :

${\displaystyle \gamma =c^{2}\rho \,\chi _{T}}$

Exemple

Dans les conditions normales de température et de pression (CNTP), soit ${\displaystyle T}$ = 0 °C et ${\displaystyle P}$ = 1 atm = 101 325 Pa, on a pour l'air sec :

• ${\displaystyle c}$ = 331 m s⁻¹ ;
• ${\displaystyle \rho }$ = 1,292 kg m⁻³ ;
• ${\displaystyle \chi _{T}={1 \over P}}$, l'air dans les CNTP pouvant être considéré comme un gaz parfait.

On a ainsi :

${\displaystyle \gamma ={331^{2}\times 1{,}292 \over 101325}\approx 1{,}3970}$

On trouve ${\displaystyle \gamma }$ = 1,4028 dans la littérature.

Références

Bibliographie

• Frédéric Reech, Théorie des machines motrices et des effets mécaniques de la chaleur, Paris, Eugène Lacroix, 1869, 189 p. (lire en ligne), p. 38.
• Jean-Pierre Corriou, Thermodynamique chimique : Définitions et relations fondamentales, vol. J 1025, Techniques de l'ingénieur, coll. « base documentaire : Thermodynamique et cinétique chimique, pack Opérations unitaires. Génie de la réaction chimique, univers Procédés chimie - bio - agro », 1984 (lire en ligne), p. 1-19.
• Jean-Pierre Courtin, L'homme et les lois de la nature : Précis de culture générale scientifique, vol. 1, lulu.com, 2012 (ISBN 978-1-4710-3427-5, lire en ligne), p. 1 G 56-57.
• Georges Gonczi, Comprendre la thermodynamique avec des exercices résolus et commentés : Licence, CPGE, Éditions Ellipses, 2018, 2^e éd., 288 p. (ISBN 9782340051706, lire en ligne), p. 103-105.
• G. Faverjon, Thermodynamique PCSI, Rosny-sous-Bois, Bréal, 2003, 192 p. (ISBN 2-7495-0231-4, lire en ligne), p. 87.
• Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique : + de 6500 termes, nombreuses références historiques, des milliers de références bibliographiques, Louvain-la-Neuve, De Boeck supérieur, 2018, 976 p. (ISBN 978-2-8073-0744-5, lire en ligne), p. 631-632.