Sous-suite

En mathématiques, une sous-suite (ou une suite extraite) est une suite obtenue en ne prenant que certains éléments (une infinité) d'une suite de départ. Cette opération est parfois appelée extraction.

Formellement, une suite est une application définie sur l'ensemble $ℕ$ des entiers naturels. On la note classiquement $(u_{n})_{n \in ℕ}$ . Une sous-suite ou suite extraite est la composée de u par une application strictement croissante $φ : ℕ \to ℕ$ .

Elle s'écrit donc sous la forme $(u_{φ (n)})_{n \in ℕ}$ . Dans ce contexte, l'application $φ$ est appelée extractrice.

Propriétés

La relation « être une sous-suite de » est réflexive et transitive (il s'agit d'un préordre).
Toute suite à valeurs dans $ℝ$ (ou tout ensemble totalement ordonné) admet une sous-suite monotone (au sens large).

Démonstration

Soit $(u_{n})_{n \in ℕ}$ une telle suite.

On dit qu'un indice $n$ est un pic s'il vérifie $u_{m} < u_{n}$ pour tout $m > n$ .

Il y a alors deux cas :

ou bien il y a une infinité de pics. Dans ce cas, les $(u_{n})$ correspondants forment une sous-suite (strictement) décroissante ;
ou bien il n'y a qu'un nombre fini de pics. On « choisit » un indice $p_{0}$ strictement supérieur à tous les pics, puis un indice $p_{1} > p_{0}$ tel que $u_{p_{1}} \geq u_{p_{0}}$ , puis $p_{2} \geq p_{1}$ tel que $u_{p_{2}} \geq u_{p_{1}} \geq u_{p_{0}}$ , etc.

On construit ainsi une sous-suite croissante (au sens large).

Notons que l'on peut aussi utiliser le théorème de Ramsey (qui a une preuve similaire). En coloriant les paires d'indices ${m, n}, m < n$ par une couleur si $u_{m} \leq u_{n}$ et une couleur différente si $u_{m} > u_{n}$ , le théorème de Ramsey fournit un ensemble d'indices infini et monochromatique.

On en déduit, avec le théorème de la limite monotone, que toute suite de réels bornée admet une sous-suite convergente (cf. théorème de Bolzano-Weierstrass).

Soit $(u_{n})_{n \in ℕ}$ une suite d'éléments d'un espace topologique $X$ qui converge vers $ℓ$ , alors toute suite extraite de $(u_{n})_{n \in ℕ}$ converge vers $ℓ$ ; par contraposition, lorsque $X$ est séparé , si deux suites extraites de $(u_{n})_{n \in ℕ}$ ont des limites différentes, alors la suite $(u_{n})_{n \in ℕ}$ diverge.
Les limites des sous-suites convergentes d'une suite $(u_{n})_{n \in ℕ}$ d'un espace topologique $X$ sont des valeurs d'adhérence de la suite $(u_{n})_{n \in ℕ}$ . Si $X$ est métrisable, ou plus généralement à bases dénombrables de voisinages, la réciproque est vraie : toute valeur d'adhérence d'une suite est limite d'une de ses sous-suites.

Notes et références

1 2 Jean-Marie Monier, Analyse MPSI : Cours, méthodes et exercices corrigés, Paris, Dunod, 2006, 5^e éd., 525 p. (ISBN 978-2-10-049837-6).
↑ Cette démonstration — y compris la terminologie de « pic » (peak point) — est présentée dans le cas des suites réelles par (en) Michael Spivak, Calculus, 1967 (lire en ligne), chap. 21 (« Infinite Sequences »), p. 378 (p. 451 de l'éd. de 2006 sur Google Livres). En référence à cette démonstration, certains auteurs^[Qui ?] appellent la propriété correspondante le « Lemme des pics ». Lorsqu'on ignore si la suite considérée admet ou non une infinité de pics, cette démonstration ne fournit pas de méthode pour construire une sous-suite monotone.
↑ Une variante serait d'utiliser, comme dans le lemme du soleil levant, la notion de « point visible depuis la droite » (ici : indice $n$ vérifiant $u_{m} \leq u_{n}$ pour tout $m > n$ ). On construirait alors soit une sous-suite décroissante au sens large, soit une sous-suite strictement croissante.
↑ On peut faire les choix successifs des $p_{k}$ sans recourir à l'axiome du choix dépendant, en choisissant simplement, à chaque étape, le plus petit $p_{k}$ possible.
↑ Ou plus généralement à unique limite séquentielle.

Articles connexes

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[monier-1] 1 2 Jean-Marie Monier, Analyse MPSI : Cours, méthodes et exercices corrigés, Paris, Dunod, 2006, 5^e éd., 525 p. (ISBN 978-2-10-049837-6).

[2] Cette démonstration — y compris la terminologie de « pic » (peak point) — est présentée dans le cas des suites réelles par (en) Michael Spivak, Calculus, 1967 (lire en ligne), chap. 21 (« Infinite Sequences »), p. 378 (p. 451 de l'éd. de 2006 sur Google Livres). En référence à cette démonstration, certains auteurs^[Qui ?] appellent la propriété correspondante le « Lemme des pics ». Lorsqu'on ignore si la suite considérée admet ou non une infinité de pics, cette démonstration ne fournit pas de méthode pour construire une sous-suite monotone.

[3] Une variante serait d'utiliser, comme dans le lemme du soleil levant, la notion de « point visible depuis la droite » (ici : indice $n$ vérifiant $u_{m} \leq u_{n}$ pour tout $m > n$ ). On construirait alors soit une sous-suite décroissante au sens large, soit une sous-suite strictement croissante.

[4] On peut faire les choix successifs des $p_{k}$ sans recourir à l'axiome du choix dépendant, en choisissant simplement, à chaque étape, le plus petit $p_{k}$ possible.

[5] Ou plus généralement à unique limite séquentielle.