Surface implicite

Une surface implicite est la surface de niveau d'une fonction différentiable f définie sur un ouvert de ${\displaystyle R^{3}}$.

Exemples

• L'exemple le plus élémentaire est sans nul doute l'exemple des plans affines. Si l est une forme linéaire sur ${\displaystyle R^{3}}$, alors ${\displaystyle l:R^{3}\rightarrow R}$ est une application différentiable et tout réel est une valeur régulière de l. Pour r donné, ${\displaystyle \{l=r\}}$ est une surface implicite de ${\displaystyle R^{3}}$.

• Autre exemple élémentaire, si ${\displaystyle q}$ est une forme quadratique non dégénérée de ${\displaystyle R^{3}}$, alors toute valeur non nulle est une valeur régulière de q :
  • Si q est définie positive, alors pour ${\displaystyle r<0}$, la surface implicite ${\displaystyle \{q=r\}}$ est vide ; et pour ${\displaystyle r>0}$, ${\displaystyle \{q=r\}}$ est une sphère.
  • Si q est non définie, de signature ${\displaystyle (2,1)}$, la surface implicite ${\displaystyle \{q=r\}}$ est un hyperboloïde à une ou deux nappes suivant le signe de r.

• La trompette de Gabriel est définie par la relation implicite :

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})z^{2}=a^{4}}$ avec a non nul.

La trompette de Gabriel est une surface de révolution.

Illustrations

• 
  Surface implicite d'un tore (R=40, a=15)
• 
  Surface implicite de genre 2

• 
  Surface implicite non algébrique (wineglas)
• 
  equipotential surface of 4 point charges

• 
  metamorphoses between two implicit surfaces (torus and a constant distance product surface)
• 
  approximation of three tori (parallel projection)

• 
  Image PovRay (central projection) of an approximation of three tori
• 
  Image PovRay : metamorphoses between a sphere and a constant distance product surface (6 points)

Voir aussi