Symbole modulaire

En mathématiques, les symboles modulaires, sont les générateurs d'un espace vectoriel étroitement lié à celui des formes modulaires. Ces éléments, introduits indépendamment par Bryan John Birch et Yuri Manin, permettent de faciliter le calcul effectif avec les formes modulaires, notamment grâce à l'existence d'une description simple de l'action des opérateurs de Hecke sur les symboles modulaires. Ils sont également fortement liés aux valeurs spéciales de fonctions L de formes modulaires.

Définition

Homologie des courbes modulaires

Soit $N$ un entier naturel non-nul. Le groupe spécial linéaire ${S L}_{2} (ℤ)$ à coefficients dans $ℤ$ admet

Γ_{0} (N) = {(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) \in {S L}_{2} (ℤ) | c \equiv 0 mod N}

comme sous-groupe, d'indice fini. Le groupe groupe modulaire agit par homographies sur l'espace $\overline{ℌ} = ℌ \cup ℙ^{1} (ℚ)$ , où

ℌ = {z \in ℂ ∣ I m (z) > 0}

désigne le demi-plan de Poincaré et $ℙ^{1} (ℚ) = ℚ \cup {\infty}$ désigne la droite projective rationnelle. Cette action induit une action de ${S L}_{2} (ℤ)$ , et donc $Γ_{0} (N)$ , sur $\overline{ℌ}$ . La courbe modulaire $X_{0} (N)$ obtenue en réalisant le quotient $Γ_{0} (N) ∖ \overline{ℌ}$ hérite de la structure de surface de Riemann de $\overline{ℌ}$ .

Pour $α$ et $β$ deux points de $\overline{ℌ}$ contenus dans une même orbite de l'action de $Γ_{0} (N)$ , le symbole ${α, β}$ désigne l'image d'un chemin reliant $α$ à $β$ dans le groupe d'homologie singulière $H_{1} (X_{0} (N), ℚ)$ à coefficients rationnels. Ce symbole ne dépend pas du chemin choisit, et dépend seulement d'un représentant des éléments $g \in Γ_{0} (N)$ pour lesquels $α = g \cdot β$ .

Symboles modulaires de poids 2

Le groupe abélien des symboles modulaires (de poids $2$ ) et de niveau $N$ réalise présentation bien choisie du groupe d'homologie $H_{1} (X_{0} (N), ℚ)$ , obtenue en triangulant la courbe modulaire $X_{0} (N)$ . Plus précisément, il s'agit du groupe abélien engendré par les symboles ${α, β}$ , où $α$ et $β$ sont des éléments de $ℙ^{1} (ℚ) = ℚ$ soumis aux relations de triangulation ${α, β} + {β, γ} + {γ, α} = 0$ et aux relations ${α, β} - {g \cdot α, g \cdot β}$ , où $g$ décrit les éléments de $Γ_{0} (N)$ .

De manière informelle, le symbole ${α, β}$ représente la géodésique reliant $α$ à $β$ dans le demi-plan de Poincaré. Le théorème de Manin–Drinfeld (en) et la triangulation de $X_{0} (N)$ par les $Γ_{0} (N)$ -translatés de la demi-droite $[0, + \infty)$ montrent que l'application

𝕄_{2} (Γ_{0} (N) \to H_{1} (X_{0} (N), {pointes}, ℚ)

,

qui envoie une somme formelle de géodésiques sur leur image dans l'homologie relative, est un isomorphisme.

Il existe un couplage entre les formes modulaires paraboliques de poids $2$ et de niveau $Γ_{0} (N)$ et les symboles modulaires, donné par l'intégration de la forme différentielle du demi-plan supérieur associée à la forme modulaire le long du chemin correspondant au symbole modulaire.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Modular symbol » (voir la liste des auteurs).

Yuri Ivanovich Manin, « Parabolic points and zeta functions of modular curves », Math. USSR Izv., vol. 6, n^o 1,‎ 1972, p. 19–64 (ISSN 0373-2436, DOI 10.1070/IM1972v006n01ABEH001867, MR 0314846, lire en ligne)
Yuri Ivanovich Manin, « Arithmetic geometry », Clay Math. Proc., Providence, R.I., American Mathematical Society, vol. 8,‎ 2009, p. 137–152 (ISBN 978-0-8218-4476-2, MR 2498060, lire en ligne)
J.E. Cremona, Algorithms for modular elliptic curves, Cambridge, Cambridge University Press, 1997 (ISBN 0-521-59820-6, zbMATH 0872.14041)

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