Tour de Postnikov

En théorie de l'homotopie, une branche de la topologie algébrique, une tour de Postnikov (ou système de Postnikov) est un objet permettant de reconstruire un espace topologique à partir de ses groupes d'homotopie.

Définition

Une tour de Postnikov pour un espace X connexe par arcs est un morphisme de X vers une suite d'espaces et d'applications continues, …→ X_n →…→ X₁→ X₀, tel que

chaque application X→X_n induit des isomorphismes des π_k pour k ≤ n ;
π_k(X_n) = 0 pour k > n.

Propriétés

Tout CW-complexe connexe possède une telle « tour ».

On peut de proche en proche remplacer chaque application X_n→X_{n – 1} par une fibration, dont la fibre est un espace d'Eilenberg-MacLane K(π_n(X), n), d'après sa longue suite exacte d'homotopie. L'application de X dans la limite projective des X_n est alors une équivalence faible d'homotopie.

Le CW-complexe connexe X possède une tour de Postnikov de fibrations principales si et seulement si l'action de π₁(X) sur les π_n(X) (n > 1) est triviale.

Notes et références

↑ (en) Mikhail M. Postnikov, « Determination of the homology groups of a space by means of the homotopy invariants », Doklady Akademii Nauk SSSR, vol. 76,‎ 1951, p. 359-362
1 2 3 (en) Allen Hatcher, Algebraic Topology, New York, Cambridge University Press, 2001, 544 p. (ISBN 978-0-521-79540-1, lire en ligne), p. 410-413

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[1] (en) Mikhail M. Postnikov, « Determination of the homology groups of a space by means of the homotopy invariants », Doklady Akademii Nauk SSSR, vol. 76,‎ 1951, p. 359-362

[Hatcher-2] 1 2 3 (en) Allen Hatcher, Algebraic Topology, New York, Cambridge University Press, 2001, 544 p. (ISBN 978-0-521-79540-1, lire en ligne), p. 410-413