Transformation d'Aluthge

En mathématiques et plus précisément en analyse fonctionnelle, la transformation d’Aluthge est une opération définie sur l'ensemble des opérateurs bornés d'un espace de Hilbert ; c'est un outil important pour étudier certaines classes d'opérateurs linéaires.

Soit ${\displaystyle H}$ un espace de Hilbert. On note ${\displaystyle B(H)}$ l'algèbre des opérateurs linéaires continus de ${\displaystyle H}$ dans lui-même.

Théorème de la décomposition polaire

Soient ${\displaystyle T\in B(H)}$, ${\displaystyle T^{*}}$ son opérateur adjoint et ${\displaystyle |T|}$ la racine carrée de l'opérateur ${\displaystyle T^{*}T}$. Il existe une unique isométrie partielle ${\displaystyle U}$ telle que ${\displaystyle T=U|T|}$ et ${\displaystyle \ker(U)\supset \ker(T)}$.

Définition

Soient ${\displaystyle T\in B(H)}$ et ${\displaystyle T=U|T|}$ sa décomposition polaire. La transformation d'Aluthge de ${\displaystyle T}$ est l'opérateur ${\displaystyle \Delta (T)}$ défini par :

${\displaystyle \Delta (T)=|T|^{\frac {1}{2}}U|T|^{\frac {1}{2}}}$.

Plus généralement, pour tout nombre réel ${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$, on appelle ${\displaystyle \lambda }$-transformation d'Aluthge de ${\displaystyle T}$ l'opérateur ${\displaystyle \Delta _{\lambda }(T):=|T|^{\lambda }U|T|^{1-\lambda }\in B(H)}$.

Exemple

Pour deux vecteurs ${\displaystyle x,y\in H}$, on note ${\displaystyle x\otimes y}$ l'opérateur défini par : ${\displaystyle \forall z\in H\quad x\otimes y(z)=\langle z,y\rangle x}$. Un calcul élémentaire montre que si ${\displaystyle y\neq 0}$ alors ${\displaystyle \Delta _{\lambda }(x\otimes y)=\Delta (x\otimes y)={\frac {\langle x,y\rangle }{\lVert y\rVert ^{2}}}y\otimes y}$.

Notes et références

Lien externe

(en) « Ariyadasa Aluthge », sur le site du Mathematics Genealogy Project

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