Triangle d'or (géométrie)

Un triangle d'or (aigu) ou triangle sublime est un triangle isocèle dans lequel le rapport de la longueur du côté double à la longueur du côté-base est le nombre d'or $\varphi$ :

{a \over b}=\varphi ={{1+{\sqrt {5}}} \over 2}\approx 1,618~034

(voir 1^ère figure).

Certains auteurs nomment également « triangles d'or » les triangles où ce rapport vaut ${1 \over \varphi }$ (voir § "Tableau récapitulatif" pour les différentes appellations).

Mesures concernant le triangle d'or

Angles

Dans la 2^e figure, BXC est un triangle d'or puisque le rapport de la longueur du côté BC à la longueur du côté BX est le nombre d'or $\varphi$ :

L'angle BCX au sommet C a pour mesure :

\theta =2\arcsin {\bigl (}{\tfrac {b}{2a}}{\bigr )}=2\arcsin {\bigl (}{\tfrac {1}{2\varphi }}{\bigr )}=2\arcsin {\Bigl (}{\tfrac {{\sqrt {5}}-1}{4}}{\Bigr )}=\arcsin {\frac {\varphi }{2}}={\pi  \over 5}~rad=36^{\circ }.

Comme la somme des mesures des angles du triangle BXC fait $\pi ~rad$ , les angles de base CBX et CXB valent chacun :

\beta ={{\pi -{\pi  \over 5}} \over 2}={2\pi  \over 5}~rad=72^{\circ }

(ou encore

\beta =\arccos {\Bigl (}{\tfrac {{\sqrt {5}}-1}{4}}{\Bigr )}={2\pi  \over 5}~rad=72^{\circ }

).

Le triangle d'or est un triangle aigu puisque tous ses angles sont inférieurs à l'angle droit.
Le triangle d'or est le seul triangle dont les mesures des angles sont dans des rapports 2, 2, 1 (72°, 72°, 36°).

Hauteur

La hauteur est donné par $h={\sqrt {a^{2}-{\frac {b^{2}}{4}}}}={\frac {b}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}={\frac {a}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}$ .

Aire

L'aire est donnée par $S={\frac {1}{2}}bh={\frac {b^{2}}{4}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}={\frac {a^{2}}{8}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}$

Occurrences

Les branches du pentagramme régulier sont des triangles d'or (voir 3ème figure).
Dans le décagone régulier, lorsque l'on relie les sommets adjacents au centre, on obtient des triangles d'or.
Les pavages de Penrose font intervenir des triangles d'or.

Gnomon d'or

Un gnomon d'or ou triangle d'argent ou, pour certains auteurs, triangle d'or obtus est un triangle isocèle obtus dans lequel le rapport de la longueur du côté double à la longueur du côté-base est l'inverse du nombre d'or, soit ${1 \over \varphi }$ :

{a' \over b'}={1 \over \varphi }={{{\sqrt {5}}-1} \over 2}\approx 0,618~034.

Angles du gnomon d'or

Dans la 2^e figure, les longueurs AX et CX valant $a'=a=\varphi ~$ et la longueur AC valant $b'=\varphi ^{2}$ , AXC est un gnomon d'or.

L'angle AXC au sommet X a pour mesure :

\theta '=2\arcsin {\Bigl (}{\tfrac {b'}{2a'}}{\Bigr )}=2\arcsin {\Bigl (}{\tfrac {\varphi ^{2}}{2\varphi }}{\Bigr )}=2\arcsin {\Bigl (}{\varphi  \over 2}{\Bigr )}=2\arcsin {\Bigl (}{\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{4}}{\Bigr )}={3\pi  \over 5}~rad=108^{\circ }

(ou encore

\theta '=\arccos {\Bigl (}{{1-{\sqrt {5}}} \over 4}{\Bigr )}={3\pi  \over 5}~rad=108^{\circ }

).

Comme la somme des mesures des angles du triangle AXC fait $\pi ~rad$ , les angles de base CAX et ACX valent chacun :

\beta '=\theta ={\pi -{3\pi  \over 5} \over 2}={\pi  \over 5}~rad=36^{\circ }

(ou encore

\beta '=\theta =\arccos {\Bigl (}{{1+{\sqrt {5}}} \over 4}{\Bigr )}={\pi  \over 5}~rad=36^{\circ }

).

Le gnomon d'or est un triangle obtus puisqu'il possède un angle obtus et deux angles aigus.
Le gnomon d'or est le seul triangle dont les mesures des angles sont dans des rapports 1, 1, 3 (36°, 36°, 108°).

Hauteur

La hauteur est donné par $h={\sqrt {a^{2}-{\frac {b^{2}}{4}}}}={\frac {b}{2}}{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}={\frac {a}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}$ .

Aire

L'aire est donnée par $S={\frac {1}{2}}bh={\frac {b^{2}}{4}}{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}={\frac {a^{2}}{8}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}$

Construction en cure-dents ou à l'aide d'un pentagone articulé

Si on dispose cinq cure-dents identiques de sorte que, comme dans la figure ci-contre, $A, I, B$ soient alignés ainsi que $A, J, C$ , l'angle en $A$ vaut $\alpha =\pi /5$ et on obtient trois triangle d'or $ABC$ , $BCJ$ , $CBI$ , et quatre triangles d'argent $JAB$ , $IAC$ , $KBC$ , $KIJ$ . Cette construction peut aussi être obtenue par un pentagone articulé à barres de même longueur $AICBJ$ .

Tableau récapitulatif

Définitions de cet article	Définitions alternatives	$a \over b$	Angle au sommet	Angles égaux de base
Triangle d'or Triangle sublime	Triangle d'or aigu	$\varphi$	36°	72°
Gnomon d'or Triangle d'argent	Triangle d'or obtus	$1 \over \varphi$	108°	36°

Triangle d'or et gnomon d'or associés

Découpages

La figure ci-contre montre que :

En coupant un de ses angles de base en 2 angles égaux, on peut découper un triangle d'or en un triangle d'or et un gnomon d'or.
En coupant son angle au sommet en 2 angles du simple au double, on peut découper un gnomon d'or en un gnomon d'or et un triangle d'or.

Pavages

On peut paver un pentagone régulier avec deux gnomons d'or et un triangle d'or (voir figure ci-contre).
Ces triangles isocèles peuvent être utilisés pour produire les pavages de Penrose.

Spirale logarithmique

Le triangle d'or peut être utilisé pour placer certains points d'une spirale logarithmique. En procédant à la bissection d'un angle à la base d'un triangle d'or, on obtient un nouveau point, qui à son tour forme un nouveau triangle d'or. En répétant ce procédé, on obtient des points qui permettent de tracer à main levée une spirale logarithmique (voir dernière figure).

Notes et références

1 2 3 (en) Kimberly Elam, Geometry of Design : Studies in Proportion and Composition, New York, Princeton Architectural Press, 2001, 107 p. (ISBN 1-56898-249-6, lire en ligne)
1 2 Par exemple Jean-Claude Thiénard, Maryse Cheymol, Maryse Combrade et Louis-Marie Bonneval, Mathématiques seconde (lire en ligne), p. 100
↑ (en) Eric W. Weisstein, « Golden Triangle », sur mathworld.wolfram.com (consulté le 23 décembre 2019)
↑ (en) « Tilings Encyclopedia »
↑ (en) Arthur Livio, Concepts and Images : Visual Mathematics, Boston, Birkhäuser Boston, 1992 (ISBN 0-8176-3620-X)
↑ (en) Eric W. Weisstein, « Golden Gnomon », sur mathworld.wolfram.com (consulté le 26 décembre 2019)
↑ (en) H. E. Huntley, The Divine Proportion : A Study In Mathematical Beauty, New York, Dover Publications Inc, 1970, 186 p. (ISBN 0-486-22254-3, lire en ligne)

Voir aussi

Crédits de traduction

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Golden triangle (mathematics) » (voir la liste des auteurs).

Articles connexes

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, « Golden Triangle », sur MathWorld
(en) Eric W. Weisstein, « Golden Gnomon », sur MathWorld
(en) Triangles de Robinson sur l'encyclopédie des pavages de l'Université de Bielefeld.

Portail de la géométrie

[elam-1] 1 2 3 (en) Kimberly Elam, Geometry of Design : Studies in Proportion and Composition, New York, Princeton Architectural Press, 2001, 107 p. (ISBN 1-56898-249-6, lire en ligne)

[:0-2] 1 2 Par exemple Jean-Claude Thiénard, Maryse Cheymol, Maryse Combrade et Louis-Marie Bonneval, Mathématiques seconde (lire en ligne), p. 100

[3] (en) Eric W. Weisstein, « Golden Triangle », sur mathworld.wolfram.com (consulté le 23 décembre 2019)

[tilings-4] (en) « Tilings Encyclopedia »

[loeb-5] (en) Arthur Livio, Concepts and Images : Visual Mathematics, Boston, Birkhäuser Boston, 1992 (ISBN 0-8176-3620-X)

[6] (en) Eric W. Weisstein, « Golden Gnomon », sur mathworld.wolfram.com (consulté le 26 décembre 2019)

[huntley-7] (en) H. E. Huntley, The Divine Proportion : A Study In Mathematical Beauty, New York, Dover Publications Inc, 1970, 186 p. (ISBN 0-486-22254-3, lire en ligne)

v · m Triangles
Description	Sommet Apex Côté Angle Base
Types	Triangle équilatéral Triangle isocèle Triangle d'or Triangle rectangle Angle droit Cathète Hypoténuse Triangle de Kepler Triangle obtusangle Triangle acutangle Triangle isocèle rectangle Triangle pseudo-rectangle Triangle scalène Triangle de Héron
Points remarquables (Nombre de Kimberling)	Centres : Centre du cercle inscrit Centre de gravité Centre du cercle circonscrit Orthocentre Centre du cercle d'Euler Centre du cercle de Spieker Points de Brocard Points de Feuerbach Point de Fermat ou Point de Torricelli Point de Longchamps Point de Miquel Point de Gergonne Point de Nagel Point de Vecten Points isogonaux Points isodynamiques Point de Lemoine Points de Terquem Points de Napoléon Mittenpunkt
Droites remarquables	Cévienne Hauteur Médiane Bissectrice Médiatrice Droite de Brocard Droite d'Euler Droite de Lemoine Droite de Newton Droite de Simson (ou droite de Wallace) Droite de Steiner Ménélienne Symédiane Axe orthique Droite centrale
Cercles remarquables	Cercle circonscrit Cercle exinscrit Cercle inscrit Cercle d'Euler Cercle d'Apollonius Cercles de Lemoine Cercle de Longchamps Cercle de Miquel Cercle de Taylor Cercle de Tucker Cercle podaire Cercle de Brocard Cercle de Spieker Cercle de Fuhrmann Cercles de Johnson Cercle pédal
Triangles remarquables	Triangle de Bevan Triangle de Feuerbach Triangle de Gergonne Triangle de Morley Triangle de Nagel Triangle inscrit de périmètre minimal (Problème de Fagnano) Triangle médian Triangle orthique Triangle podaire Triangle tangentiel Triangle de Fuhrmann
Courbes remarquables	Deltoïde de Steiner Coniques Conique inscrite de Serret (ou de MacBeath) Conique orthique Hyperbole de Kiepert Paraboles Parabole tritangente Parabole de Kiepert Ellipses Ellipse de Mandart Ellipse de Steiner Coniques circonscrites et inscrites à un triangle Cubiques
Théorèmes	Théorème de Pythagore Théorème de Thalès Théorème de Napoléon Théorème japonais de Carnot Théorème de Ménélaüs Théorème de Morley Théorème de Nagel Théorème de Neuberg Théorème de Hamilton Théorème d'Euler Théorème de Feuerbach Théorème de Viviani Avec des céviennes Théorème de Ceva Théorème de Gergonne Théorème de Stewart Théorème de Terquem Théorème de Routh Théorème de Jacobi Avec des cercles Théorème des six cercles Théorème des trois cercles de Miquel
Relations entre triangles	Triangles isométriques Triangles semblables Inégalités dans le triangle
Résolution	Loi des cosinus Loi des sinus Loi des tangentes Loi des cotangentes Aire Formule de Héron