Triangle podaire

En géométrie euclidienne plane, le triangle podaire d'un point relativement à un triangle donné est le triangle obtenu en projetant ce point sur les côtés du triangle.

Définition

Étant donné un triangle non aplati $ABC$ et un point $P$ de son plan, soient $L, M, N$ les points d'intersection des perpendiculaires issues de $P$ aux trois droites $(BC),(CA),(AB)$ supportant les côtés du triangle. Le triangle podaire du point $P$ relativement au triangle $ABC$ est le triangle $LMN$ .

Cas particuliers

Si $P$ est l' orthocentre, $LMN$ est le triangle orthique.
Si $P$ est le centre du cercle inscrit, $LMN$ est le triangle de contact .
Si $P$ est le centre du cercle circonscrit, $LMN$ est le triangle médian et c'est le seul cas où le triangle podaire est semblable au triangle de référence.
Si $P$ se trouve sur le cercle circonscrit du triangle, $L, M, N$ sont alignés sur la droite podaire ou droite de Simson du point $P$ .

Propriétés

Les quadrilatères $PMAN, PLBN, PLCM$ sont inscriptibles. Le point $P$ est donc le point de Miquel associé au triangle $ABC$ et aux points $L,M,N$ , les trois cercles, les cercles de Miquel, et le triangle podaire, l'un des triangles de Miquel associé au point $P$ .

Les sommets du triangle podaire d'un point intérieur $P$ divisent les côtés du triangle d'origine en satisfaisant au théorème de Carnot :

$AN^{2}+BL^{2}+CM^{2}=NB^{2}+LC^{2}+MA^{2}.$

Coordonnées trilinéaires des sommets

Si $P$ a pour coordonnées trilinéaires $(p : q : r)$ , celles des sommets $L, M, N$ du triangle podaire de $P$ sont données par : ${\begin{array}{ccccccc}L&&(0&:&q+p\cos {\widehat {C}}&:&r+p\cos {\widehat {B}})\\[2pt]M&(&p+q\cos {\widehat {C}}&:&0&:&r+q\cos {\widehat {A}})\\[2pt]N&(&p+r\cos {\widehat {B}}&:&q+r\cos {\widehat {A}}&:&0)\end{array}}$

Longueurs des côtés du triangle podaire

Les longueurs des côtés du triangle podaire d'un point $P$ intérieur au triangle vérifient les relations : ${\begin{cases}MN=PA\sin {\widehat {A}}\\NL=PB\sin {\widehat {B}}\\LM=PC\sin {\widehat {C}}\end{cases}}$ Pour $MN$ , on peut utiliser que $[MN]$ est une corde du cercle passant par $A,M,P,N$ (voir à longueur d'une corde).

Mais d'après la loi des cosinus dans les 3 triangles de sommet $P$ , on a également : ${\begin{cases}MN^{2}=q^{2}+r^{2}+2qr\cos {\widehat {A}}\\NL^{2}=r^{2}+p^{2}+2rp\cos {\widehat {B}}\\LM^{2}=p^{2}+q^{2}+2pq\cos {\widehat {C}}\end{cases}}$ En éliminant $MN,NL,LM$ entre ces relations, on obtient les distances aux sommets $PA,PB,PC$ du point $P$ en fonction des distances aux côtés $p,q,r$ .

Triangle antipodaire

Un sommet, $L'$ , du triangle antipodaire de $P$ est le point d'intersection de la perpendiculaire à $(BP)$ passant par $B$ et de la perpendiculaire à $(CP)$ passant par $C$ . Ses autres sommets, $M'$ et $N'$ , sont construits de manière analogue. Les coordonnées trilinéaires sont données par ${\begin{array}{ccrcrcr}L'&(&-(q+p\cos {\widehat {C}})(r+p\cos {\widehat {B}})&:&(r+p\cos {\widehat {B}})(p+q\cos {\widehat {C}})&:&(q+p\cos {\widehat {C}})(p+r\cos {\widehat {B}}))\\[2pt]M'&(&(r+q\cos {\widehat {A}})(q+p\cos {\widehat {C}})&:&-(r+q\cos {\widehat {A}})(p+q\cos {\widehat {C}})&:&(p+q\cos {\widehat {C}})(q+r\cos {\widehat {A}}))\\[2pt]N'&(&(q+r\cos {\widehat {A}})(r+p\cos {\widehat {B}})&:&(p+r\cos {\widehat {B}})(r+q\cos {\widehat {A}})&:&-(p+r\cos {\widehat {B}})(q+r\cos {\widehat {A}}))\end{array}}$

Par exemple, le triangle excentral est le triangle antipodaire du cercle inscrit.

Si $P$ ne se situe sur aucun des côtés prolongés $(BC),(CA),(AB)$ , soit $P -1$ le conjugué isogonal de $P$ . Le triangle podaire de $P$ est homothétique du triangle antipodaire de $P -1$ . Le centre homothétique (qui est un centre du triangle si et seulement si $P$ est un centre du triangle) est le point donné en coordonnées trilinéaires par

${\displaystyle (ap(p+q\cos C)(p+r\cos B)\$

Le produit des aires du triangle podaire de $P$ et du triangle antipodaire de $P -1$ est égal au carré de l'aire de $ABC$ .

Cercle podaire

Article détaillé : Cercle podaire.

Le cercle podaire est le cercle circonscrit au triangle podaire. Il est à noter que le cercle podaire est non défini pour les points situés sur le cercle circonscrit au triangle.

Cercle podaire des conjugués isogonaux

Pour tout point $P$ ne se trouvant pas sur le cercle circonscrit au triangle, $P$ et son conjugué isogonal $P*$ ont même cercle podaire ; son centre est le milieu de ces deux points.

Références

1 2 3 (en) Roger A. Johnson, Advanced Euclidean Geometry, Dover, 1960 (lire en ligne), p. 136
↑ Alfred S. Posamentier et Charles T. Salkind, Challenging problems in geometry, New York, Dover, 1996, 85-86 (ISBN 9780486134864, OCLC 829151719, lire en ligne )
↑ Ross Honsberger, Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, The Mathematical Association of America, 1^er janvier 1995 (ISBN 978-0-88385-951-3, lire en ligne)

Liens externes

Mathworld : Pedal Triangle
Droite de Simson
Triangle podaire et conjugaison isogonale
Triangle et cercle podaire - illustration interactive
Théorème de perpendicularité de Carnot (ou de Bottema) et quelques généralisations - croquis interactif et dynamique

Portail de la géométrie

[:0-1] 1 2 3 (en) Roger A. Johnson, Advanced Euclidean Geometry, Dover, 1960 (lire en ligne), p. 136

[2] Alfred S. Posamentier et Charles T. Salkind, Challenging problems in geometry, New York, Dover, 1996, 85-86 (ISBN 9780486134864, OCLC 829151719, lire en ligne )

[3] Ross Honsberger, Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, The Mathematical Association of America, 1^er janvier 1995 (ISBN 978-0-88385-951-3, lire en ligne)

v · m Triangles
Description	Sommet Apex Côté Angle Base
Types	Triangle équilatéral Triangle isocèle Triangle d'or Triangle rectangle Angle droit Cathète Hypoténuse Triangle de Kepler Triangle obtusangle Triangle acutangle Triangle isocèle rectangle Triangle pseudo-rectangle Triangle scalène Triangle de Héron
Points remarquables (Nombre de Kimberling)	Centres : Centre du cercle inscrit Centre de gravité Centre du cercle circonscrit Orthocentre Centre du cercle d'Euler Centre du cercle de Spieker Points de Brocard Points de Feuerbach Point de Fermat ou Point de Torricelli Point de Longchamps Point de Miquel Point de Gergonne Point de Nagel Point de Vecten Points isogonaux Points isodynamiques Point de Lemoine Points de Terquem Points de Napoléon Mittenpunkt
Droites remarquables	Cévienne Hauteur Médiane Bissectrice Médiatrice Droite de Brocard Droite d'Euler Droite de Lemoine Droite de Newton Droite de Simson (ou droite de Wallace) Droite de Steiner Ménélienne Symédiane Axe orthique Droite centrale
Cercles remarquables	Cercle circonscrit Cercle exinscrit Cercle inscrit Cercle d'Euler Cercle d'Apollonius Cercles de Lemoine Cercle de Longchamps Cercle de Miquel Cercle de Taylor Cercle de Tucker Cercle podaire Cercle de Brocard Cercle de Spieker Cercle de Fuhrmann Cercles de Johnson Cercle pédal
Triangles remarquables	Triangle de Bevan Triangle de Feuerbach Triangle de Gergonne Triangle de Morley Triangle de Nagel Triangle inscrit de périmètre minimal (Problème de Fagnano) Triangle médian Triangle orthique Triangle podaire Triangle tangentiel Triangle de Fuhrmann
Courbes remarquables	Deltoïde de Steiner Coniques Conique inscrite de Serret (ou de MacBeath) Conique orthique Hyperbole de Kiepert Paraboles Parabole tritangente Parabole de Kiepert Ellipses Ellipse de Mandart Ellipse de Steiner Coniques circonscrites et inscrites à un triangle Cubiques
Théorèmes	Théorème de Pythagore Théorème de Thalès Théorème de Napoléon Théorème japonais de Carnot Théorème de Ménélaüs Théorème de Morley Théorème de Nagel Théorème de Neuberg Théorème de Hamilton Théorème d'Euler Théorème de Feuerbach Théorème de Viviani Avec des céviennes Théorème de Ceva Théorème de Gergonne Théorème de Stewart Théorème de Terquem Théorème de Routh Théorème de Jacobi Avec des cercles Théorème des six cercles Théorème des trois cercles de Miquel
Relations entre triangles	Triangles isométriques Triangles semblables Inégalités dans le triangle
Résolution	Loi des cosinus Loi des sinus Loi des tangentes Loi des cotangentes Aire Formule de Héron