Uplet

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En mathématiques, un uplet ou multiplet, (désigné aussi par liste, famille finie, ou suite finie) est une collection ordonnée finie d'objets. Plus précisément, si n est un entier naturel, alors un n-uplet, ou n-liste, est une collection ordonnée de n objets, appelés « composantes » du n-uplet, « éléments » de la n-liste ou « termes » de la suite ou famille finie.

En programmation informatique, on trouve une notion équivalente dans certains langages, tels que Python, Rust, OCaml, Scala, Swift ou MDX. Dans les langages fonctionnels, les tuples sont réalisés comme types produits ; dans les langages impératifs, on trouve des tuples nommés, où les composantes sont repérées par un nom, sous la forme de struct (C) ou record (Pascal).

Note : l'utilisation du terme anglais en:tuple, suffixe de quin-tuple/sex-tuple/…, est courante dans des ouvrages de programmation informatique en français.

Définitions et propriétés

• Pour ${\displaystyle n>0}$, si nous notons ${\displaystyle a_{1}}$ le premier élément, ${\displaystyle a_{2}}$ le deuxième élément, …, ${\displaystyle a_{n}}$ le n-ième élément, le n-uplet s'écrit : ${\displaystyle (a_{1},a_{2}\dots ,a_{n})}$.
• Le 0-uplet s'écrit ${\displaystyle ()}$.
• Un n-uplet ne peut être égal à un p-uplet qu'à la condition que n et p soient égaux.
• L'égalité des n-uplets se définit par

${\displaystyle (a_{1},a_{2}\dots ,a_{n})=(b_{1},b_{2}\dots ,b_{n})}$ si et seulement si ${\displaystyle a_{1}=b_{1}}$ et ${\displaystyle a_{2}=b_{2}}$ … et ${\displaystyle a_{n}=b_{n}}$.

En résumé, un n-uplet dont les composantes sont dans un ensemble E est un élément du produit cartésien ${\displaystyle E^{n}}$.

• Si E est fini, l'ensemble ${\displaystyle E^{n}}$ des n-uplets dont les composantes sont dans E est fini. L'ensemble ${\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }E^{n}}$des uplets dont les composantes sont dans E est dénombrable.

Cas particuliers

• un 2-uplet est appelé couple (ou doublet) ;
• un 3-uplet est appelé triplet ;
• un 4-uplet est appelé quadruplet ;
• un 5-uplet est appelé quintuplet ;
• un 6-uplet est appelé sextuplet ;
• etc.

Exemples

• (1, 2) ≠ (2, 1).
• (♠ , ♥) ≠ (♥, ♠).
• Si le premier élément et le deuxième sont 1, si le troisième est 5 et si le quatrième est 20, alors le quadruplet formé par ces éléments s'écrit (1, 1, 5, 20).
• Si le premier élément est ♥, le deuxième et le quatrième sont ♣ et le troisième est ♦, alors le quadruplet formé par ces éléments s'écrit : (♥, ♣, ♦, ♣).
• La n-ième puissance cartésienne ${\displaystyle E^{n}}$ d'un ensemble ${\displaystyle E}$ est l'ensemble des n-uplets d'éléments de ${\displaystyle E}$.
• Plus généralement, le produit cartésien ${\displaystyle E_{1}\times \dots \times E_{n}}$ de ${\displaystyle n}$ ensembles ${\displaystyle E_{1},\dots ,E_{n}}$ est l'ensemble des n-uplets ${\displaystyle (a_{1},a_{2}\dots ,a_{n})}$ où ${\displaystyle a_{1}}$ appartient à ${\displaystyle E_{1}}$, …, ${\displaystyle a_{n}}$ appartient à ${\displaystyle E_{n}}$.
• De manière générale, les coordonnées sont des n-uplets. En particulier, les points de l'espace vectoriel ordinaire sont représentés par des triplets de nombres réels.
• Les nombres complexes peuvent se construire à partir de couples de nombres réels.
• Un quaternion peut être représenté par un quadruplet de nombres réels.
• En théorie des nombres, les mathématiciens s'intéressent notamment aux triplets, quadruplets, quintuplets, sextuplets, etc. de nombres premiers.
• En informatique, les objets d'un type de données enregistrement sont des n-uplets.
• Un n-uplet constitue les paramètres d'une fonction informatique ou les arguments d'une fonction mathématique à n variables.

Formalisation

D'après la définition par récurrence du produit cartésien de n ensembles, un n-uplet peut être défini à partir de la notion de couple, qui elle-même peut se définir en termes d'ensembles :

${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})=((\dots ((a_{1},a_{2}),a_{3}),\dots ,a_{n-1}),a_{n})}$.

(c'est-à-dire qu'un (n + 1)-uplet est un couple dont la première composante est un n-uplet). Autrement dit :

1. ∅ est un 0-uplet
2. si ${\displaystyle x=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$ est un n-uplet, alors ${\displaystyle (x,a_{n+1})}$ est un (n+1)-uplet, et ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},a_{n+1})=(x,a_{n+1})}$.

La propriété caractéristique des n-uplets (la définition de l'égalité) se démontre immédiatement par récurrence à partir de celle des couples.

On a choisi pour définir un n+1-uplet d'ajouter un élément « à la fin » d'un n-uplet : c'est arbitraire, et il est possible de commencer par le début, c'est-à-dire de définir un n+1-uplet comme un couple dont la seconde composante est un n-uplet. Ceci conduit à une définition différente mais qui a les mêmes propriétés.

Il est enfin possible de définir un n-uplet comme une suite finie, c'est-à-dire une application définie sur un ensemble fini, ${\displaystyle \{0,\dots ,n-1\}}$ ou ${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$.

Notes et références

Articles connexes

• Liste (mathématiques)
• Mot (mathématiques)
• Suite presque nulle

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