Disztributivitás

A disztributivitás két matematikai műveletet összekapcsoló tulajdonság. Akkor mondjuk, hogy egy művelet (jelölje ⊕) disztributív egy másik (mondjuk ×-tel jelölt) műveletre nézve, ha minden elem esetén azonos végeredményre jutunk

• akkor is, ha két elem × műveletének eredményén és egy harmadik elemen végrehajtjuk a ⊕ műveletet,
• illetve akkor is, ha előbb a harmadik elemmel külön-külön össze-⊕-műveletezzük az első kettőt, majd a két eredményt össze-×-műveletezzük.

Ha a ⊕ művelet nem kommutatív, akkor megkülönböztethető bal oldali és jobb oldali disztributivitás. E jelzők elhagyása egyszerre mindkét oldali disztributivitásra utal.

Definíció

Legyen ${\displaystyle (A;+,*)}$ tetszőleges matematikai struktúra, ahol a ${\displaystyle +}$ és a ${\displaystyle *}$ kétváltozós művelet. Akkor mondjuk, hogy a ${\displaystyle *}$ művelet disztributív a ${\displaystyle +}$ műveletre nézve (illetve, hogy a ${\displaystyle (A;+,*)}$ struktúra disztributív), ha ${\displaystyle A}$ halmaz minden ${\displaystyle a,b,c}$ elemére teljesül, hogy

${\displaystyle (a+b)*c=(a*c)+(b*c)\,}$, és

${\displaystyle a*(b+c)=(a*b)+(a*c)\,}$.

Példák

• A valós számokon értelmezett összeadás és szorzás esetében a szorzás disztributív az összeadásra (azonban az összeadás nem disztributív a szorzásra):

${\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {R}$ :\quad (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}

• Legyen ${\displaystyle A,B,C}$ három halmaz. A közöttük értelmezett egyesítés és metszetképzés kölcsönösen disztributív egymásra.

${\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}$, illetve

${\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)}$.

Disztributív struktúrák

• Gyűrű
• Integritástartomány
• Test

Lásd még

• Műveleti tulajdonságok

További információk

• Alice és Bob - 12. rész: Alice és Bob rendet tesz

Hivatkozások

• Rédei László, Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Bp. (1954)
• Szendrei Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)