Gradiens

A gradiens a matematikában egy skalármezőkre alkalmazható differenciáloperátor. A gradiens a kétváltozós függvények deriválásának általánosítása többváltozós függvényekre. Ennek vektormező az eredménye, ami azt mutatja meg, hogy hogyan változik a függvény, és megadja a skalármező legnagyobb megváltozását (irányát és nagyságát).

Példaként tekintsünk egy térképet, amely megadja a magasságokat a h(x, y) függvénnyel: h(x, y) a tengerszint feletti magasság értéke az (x, y) pontban. Így egy skalármezőt definiáltunk. Ekkor h ℝ²→ℝ kétváltozós függvény gradiense egy olyan új ℝ²→ℝ² függvény, ami minden (x, y) ponthoz azt a vektort rendeli, ami az adott magasságban legnagyobb meredekség irányába mutat, és hossza a legnagyobb meredekség.

A gradiens a szintvonalakra merőleges, normája pedig a skalármezőnek mint függvénynek a gradiens iránya menti deriváltja.

A gradienst a divergenciával és a rotációval együtt a vektoranalízis vizsgálja.

Skalármező gradiense

A $φ (\vec{r})$ skalármező gradiensét a parciális deriváltak vektoraként definiálják. Csak azokban a pontokban értelmezhető, ahol az összes parciális derivált létezik. Jelölése $\nabla φ$ vagy $grad φ$ . Itt $\nabla$ a nabla operátor szimbóluma, és $grad$ a gradiens függvényszimbóluma.

A háromdimenziós euklideszi térben a $φ (x, y, z)$ skalármező gradiense derékszögű koordináta-rendszerben

grad φ = \nabla φ = \frac{\partial φ}{\partial x} {\vec{e}}_{x} + \frac{\partial φ}{\partial y} {\vec{e}}_{y} + \frac{\partial φ}{\partial z} {\vec{e}}_{z} = (\begin{matrix} \frac{\partial φ}{\partial x} \\ \frac{\partial φ}{\partial y} \\ \frac{\partial φ}{\partial z} \end{matrix})

Hengerkoordinátákban

V = V (r; φ; z)

grad V = \nabla V = \frac{\partial V}{\partial r} {\vec{e}}_{r} + \frac{1}{r} \frac{\partial V}{\partial φ} {\vec{e}}_{φ} + \frac{\partial V}{\partial z} {\vec{e}}_{z}

Gömbi koordinátákban

V = V (r; ϑ; φ)

grad V = \nabla V = \frac{\partial V}{\partial r} {\vec{e}}_{r} + \frac{1}{r} \frac{\partial V}{\partial ϑ} {\vec{e}}_{ϑ} + \frac{1}{r \sin ϑ} \frac{\partial V}{\partial φ} {\vec{e}}_{φ}

Az n-dimenziós euklideszi térben és derékszögű koordináta-rendszerben

grad φ = \nabla φ = \frac{\partial φ}{\partial x_{1}} {\vec{e}}_{1} + \dots + \frac{\partial φ}{\partial x_{n}} {\vec{e}}_{n} = (\begin{matrix} \frac{\partial φ}{\partial x_{1}} \\ ⋮ \\ \frac{\partial φ}{\partial x_{n}} \end{matrix})

A gradiens sor- és oszlopvektorként is írható, a további felhasználásnak megfelelően. A képletekben ${\vec{e}}_{i}$ az $i$ koordinátának megfelelő irányú egység hosszú vektort jelöli.

Geometriai értelmezése

Egy skalármező gradiense egy pontban megadja a legnagyobb meredekség irányát és a legnagyobb meredekség nagyságát. Egy lokális minimumban, egy lokális maximumban vagy egy nyeregpontban a gradiens nulla, feltéve, hogy ezek a pontok az értelmezési tartomány belsejében vannak.

A gradiens segítségével tetszőleges irányú meredekség meghatározható. Ez a meredekség éppen az irány menti derivált.

Iránymenti derivált

Az iránymenti derivált az adott irány által kimetszett függvény deriváltja. Közelebbről

D_{\vec{v}} φ = \frac{\partial φ}{\partial \vec{v}} = lim_{t \to 0} \frac{φ (\vec{r} + t \vec{v}) - φ (\vec{r})}{t} .

.

Ha $φ$ differenciálható $\vec{r}$ egy környezetében, akkor az iránymenti derivált az adott irányú normált vektor és a gradiens skalárszorzata:

D_{\vec{v}} φ = \frac{\partial φ}{\partial \vec{v}} = ⟨ g r a d φ, \vec{v} ⟩

Vektormező Jacobi-mátrixa

A parciális deriváltak vektora vektorértékű függvényekre is definiálható. Ha $\vec{F} : ℝ^{n} \to ℝ^{m}$ vektor értékű függvény, és koordinátafüggvényei rendre $F_{1}, \dots, F_{m}$ , akkor

\vec{F} (x_{1}, \dots, x_{n}) = (F_{1} (x_{1}, \dots, x_{n}), \dots, F_{m} (x_{1}, \dots, x_{n}))

.

Ekkor $\vec{F}$ deriváltja az $F_{i}$ (sorvektor) gradiensek oszlopvektoraként definiálható. Ennek a mezőnek a vektorgradiense a Jacobi-mátrix:

𝒥_{\vec{F}} = grad \vec{F} = \nabla \vec{F} = \frac{\partial (F_{1}, \dots, F_{m})}{\partial (x_{1}, \dots, x_{n})} = (\begin{matrix} \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{1}} & \dots & \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{n}} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \frac{\partial F_{m}}{\partial x_{1}} & \dots & \frac{\partial F_{m}}{\partial x_{n}} \end{matrix})

$m = n$ -re az eredmény egy másodfokú tenzor. Efféle tenzorok írják le például a fizikában a mechanikai feszültséget és az elaszticitást.

Számolási szabályok

Minden $c \in ℝ$ konstansra és $u, v : ℝ^{n} \to ℝ$ skalármezőre

$grad c = \vec{0}$

linearitás

$grad (c \cdot u) = c \cdot grad u$
$grad (u + v) = grad u + grad v$

szorzási szabály

$grad (u \cdot v) = u \cdot grad v + v \cdot grad u$

Alkalmazások

Skalármező totális deriváltja

d φ = \frac{\partial φ}{\partial x} d x + \frac{\partial φ}{\partial y} d y + \frac{\partial φ}{\partial z} d z = grad φ d \vec{r}, ahol d \vec{r} = (\begin{matrix} d x \\ d y \\ d z \end{matrix}) .

A derékszögű koordinátákban vett gradiens a nabla operátorral:

\vec{\nabla} = \sum_{a} {\vec{e}}_{q_{a}} \frac{1}{h_{a}} \frac{\partial}{\partial q_{a}}, ahol h_{a} = | \frac{\partial \vec{r}}{\partial q_{a}} | .

További példák

Ha egy test részei különböző hőmérsékletűek, akkor a melegebb helyről hő áramlik a hidegebb helyek felé. Ha a testen belül a hővezetés képessége állandó, akkor a hőáramlás a hőmérsékleti gradiens konstansszorosa.

Források

A Wikimédia Commons tartalmaz Gradiens témájú médiaállományokat.

Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie, Springer Verlag, ISBN 3-540-42018-5
http://www.sengpielaudio.com/SchallschnelleIstNichtDruckgradient.pdf

Matematikai portál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap