Idempotencia

Nem tévesztendő össze a következővel: impotencia.

A matematikában az idempotencia a kétváltozós matematikai műveletek egy tulajdonsága. Idempotensnek nevezzük egy algebrai struktúra valamely elemét a struktúra egy adott kétváltozós műveletére nézve, ha azokban az esetekben, amikor a művelet mindkét operandusa megegyezik az adott elemmel, akkor a művelet eredménye is megegyezik az operandusokkal, azaz a megadott elemmel. Idempotens műveletről beszélünk, ha az adott műveletre nézve a struktúra minden eleme idempotens.

Gyűrűk esetén az idempotenciát mindig a gyűrű szorzás műveletére nézve vizsgáljuk.

Definíció

Legyen $(A; \cdot)$ tetszőleges grupoid. Ha valamely $a \in A$ elemre teljesül, hogy $a \cdot a = a$ , akkor azt mondjuk, hogy az $a \in A$ idempotens elem az $(A; \cdot)$ grupoidban. Ha minden $a \in A$ elemre teljesül, hogy $a \cdot a = a$ , akkor azt mondjuk, hogy a $\cdot$ művelet idempotens az $(A; \cdot)$ grupoidban.

Tulajdonságok

Gyűrű minden olyan idempotens eleme, amely nem nulla és nem egység, zérusosztó.
Bármely $(A; \cdot)$ félcsoport tetszőleges $a \in A$ idempotens elemére akkor és csak akkor teljesül a bal oldali egyszerűsítési szabály, ha $a$ balegységelem.

Példák

Az egyesítés és metszetképzés bármely, halmazokból álló alaphalmazon értelmezve idempotens.
Tetszőleges háló metszet és egyesítés műveletei is idempotensek

Idempotens leképezések

Ha a definícióban szereplő $(A; \cdot)$ grupoid egy tetszőleges $H$ halmaz leképezéseiből áll (a művelet pedig a leképezések szokásos kompozíciója), akkor $A$ elemeit idempotens leképezésnek nevezzük. Egy $f \in A$ (azaz $f : H \to H$ ) leképezés tehát akkor idempotens, ha $f (f (x)) = f (x)$ minden $x \in H$ -ra. Triviális példa az idempotens leképezésre minden konstans függvény, valamint a minden elemet helyben hagyó identitásfüggvény is, de közismert idempotens leképezés a komplex vagy valós számokon értelmezett abszolútérték-függvény is.

Informatikai jelentése

Az informatikában gyakran idempotensnek nevezünk egy műveletet, ha ugyanazt az eredményt adja egyszer, illetve többször alkalmazva. Ilyen például a HTTP Get kérés (a Post-tal szemben).

Kapcsolódó szócikkek

Műveleti tulajdonságok

Hivatkozások

Rédei, László, Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Bp (1954)
Szendrei, Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)

Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap