Nullvektor

Egyértelműség

Egy vektortér nullvektora egyértelmű. Ha egy vektortérben adva van két nullvektor, akkor vizsgálhatjuk az összegüket:

${\displaystyle 0=0+{\bar {0}}={\bar {0}}}$

ebből azonnal adódik a vektorok egyenlősége.

Skalárral szorzás

Minden ${\displaystyle \alpha \in K}$ skalárra teljesül, hogy:

${\displaystyle \alpha \cdot 0_{V}=0_{V}}$

és hasonlóan, a vektortér minden ${\displaystyle v\in V}$ vektorára:

${\displaystyle 0_{K}\cdot v=0_{V}}$,

ami közvetlenül adódik a két disztributivitásból az ${\displaystyle \alpha =\beta =0_{K}}$, illetve ${\displaystyle u=v=0_{V}}$ helyettesítésekből. Ezzel együtt teljesül, hogy:

${\displaystyle \alpha \cdot v=0_{V}\Leftrightarrow \alpha =0_{K}}$ vagy ${\displaystyle v=0_{V}}$,

mivel abból, hogy ${\displaystyle \alpha \cdot v=0_{V}}$ következik, hogy ${\displaystyle \alpha =0_{K}}$ vagy ${\displaystyle \alpha \neq 0_{K}}$, továbbá ${\displaystyle v=\alpha ^{-1}\cdot 0_{V}=0_{V}}$.

Speciális terek

Normált vektorterekben a nullvektor normája nulla, és a nullvektor az egyetlen ilyen vektor. Ez következik a norma definitségéből és abszolút homogenitásából. Félnormával ellátott terekben több vektor is lehet nulla normával.

Skalárszorzatos vektorterekben a nullvektor ortogonális a tér összes vektorára, vagyis minden ${\displaystyle v\in V}$ esetén

${\displaystyle \langle 0_{V},v\rangle =\langle v,0_{V}\rangle =0_{K}}$,

ami következik a skalárszorzat linearitásából, illetve szemilinearitásából. Speciálisan, a nullvektor ortogonális önmagára, és - a skalárszorzat definitsége miatt - az egyetlen ilyen vektor a vektortérben.

Egy további speciális eset a pszeudoskalárszorzatos vektortereké, melyekben a pszeudoskalárszorzat egy nem feltétlenül pozitív definit bilineáris, komplex terekben szeszkvilineáris forma. Ezt az elméleti fizikában metrikának nevezik. A nulla normájú vektorok alkotják a tér nullkúpját. Fizika szempontjából fontos a Minkowski-tér, ahol ezek a vektorok fényszerűek, és a nullkúp a fénykúp hiperfelülete.

Egy nem feltétlenül pozitív definit ${\displaystyle \Psi }$ kvadratikus alakkal ellátott valós vektortérben izotrópnak nevezik azokat a ${\displaystyle v}$ vektorokat, ahol ${\displaystyle \Psi (v)=0}$. Az izotróp vektorok halmaza izotróp kúp, vagy nullkúp. A ${\displaystyle \Psi (v):=v\cdot v}$ mennyiséget szintén nevezik pszedudoskalárszorzatnak.

Vektoriális szorzás

A háromdimenziós ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{3}}$ euklideszi vektortérben tetszőleges vektor és a ${\displaystyle 0\in \mathbb {R} ^{3}}$ nullvektor vektoriális szorzata szintén nulla:

${\displaystyle v\times 0=0\times v=0}$.

Speciálisan, a nullvektor vektoriális szorzata önmagával:

${\displaystyle v\times v=0}$

A Jacobi-azonosság is teljesül, azaz három vektorból páronként ciklikusan képzett skalárszorzatok összege a nullvektor:

${\displaystyle u\times (v\times w)+v\times (w\times u)+w\times (u\times v)=0}$.

Lineáris kombinációk

Egy ${\displaystyle (v_{i})_{i\in I}}$ vektorcsalád, ahol ${\displaystyle I}$ indexhalmaz, a nullvektor kifejezhető lineáris kombinációként:

${\displaystyle 0_{V}=\sum _{i\in I}\alpha _{i}\cdot v_{i}}$

A vektorcsalád, illetve elemei lineárisan függetlenek, ha a nullvektor csak egyféleképpen fejezhető ki lineáris kombinációként, mégpedig úgy, hogy ${\displaystyle \alpha _{i}=0_{K}}$ minden ${\displaystyle i\in I}$ indexre. Mivel a nullvektor lineárisan függ önmagától, ezért nem lehet lineárisan független vektorcsalád eleme, így nem tartalmazhatja bázis sem.

Egy vektortér alterei mindig tartalmazzák a nullvektort; a legkisebb altér egyedül a nullvektorból áll, ez a nullvektortér. Ennek a bázisa az üres halmaz, mivel vektorok üres összege definíció szerint a nullvektor:

${\displaystyle \sum _{i\in \emptyset }v_{i}=0_{V}}$.

Lineáris leképezések

Legyenek ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle W}$ vektorterek ugyanazon ${\displaystyle K}$ test fölött! Ekkor, ha ${\displaystyle T\colon V\to W}$ lineáris leképezés, akkor a nullvektort a nullvektorra képezi le:

${\displaystyle T(0_{V})=T(0_{K}\cdot 0_{V})=0_{K}\cdot T(0_{V})=0_{W}}$.

A ${\displaystyle W}$ vektortér nullvektorára a ${\displaystyle V}$ vektortér több vektora is leképeződhet. Ezek a vektorok alteret alkotnak, a lineáris leképezés magterét. Egy lineáris leképezés injektív, ha magtere csak a nullvektorból áll.

Lineáris egyenletrendszerek

Egy homogén lineáris egyenletrendszer:

${\displaystyle T(v)=0_{W}}$

mindig megoldható, hiszen ${\displaystyle v=0_{V}}$ mindig megoldás. Ezt a megoldást triviálisnak nevezzük. Csak a triviális megoldás létezik, ha a ${\displaystyle T}$ lineáris leképezés magja csak a nullvektor.

Ezzel szemben egy inhomogén lineáris egyenletrendszernek:

${\displaystyle T(v)=w}$, ${\displaystyle w\neq 0_{W}}$

sosem megoldása a nullvektor. Egyértelmű megoldása akkor van, ha a hozzá tartozó homogén lineáris egyenletrendszernek csak a triviális megoldása létezik. Ez következik a szuperpozíciós tulajdonságból.