Szabad modulus

Az absztrakt algebrában a szabad modulus egy bázissal rendelkező modulus. A szabad modulusok így a modulusok közül azok, amik tulajdonságaikban a leginkább hasonlítanak a vektorterekre.

A modulus fogalma a vektorterek általánosítása test (illetve ferdetest) helyett gyűrűk feletti struktúrára. A lineáris függetlenség illetve a generátorrendszer fogalmai modulusokban is értelmezhető, azonban nem minden modulusban létezik bázis. Vektorterekben a bázis létezése a Steinitz-féle kicserélési tételen múlik, ami azonban nem általánosítható gyűrűkre, a bizonyítás ugyanis felhasználja, hogy tetszőleges nem nulla elem invertálható – ezzel a tulajdonsággal a gyűrűk közül pontosan a (ferde)testek bírnak.

Definíció

Legyen R egy egységelemes gyűrű, és legyen M egy (bal oldali) R-modulus. Egy ${\displaystyle B\subseteq M}$ részhalmaz az M egy bázisa, ha B nem üres, B az M egy generátorrendszere, és B elemei lineárisan függetlenek. Az M modulus szabad, ha létezik benne bázis, vagy ha M a zéró modulus.

Példák

• Egy egységelemes gyűrű önmaga feletti modulusként tekintve szabad modulus, és az egységelem bázist alkot.
• Bármely ferdetest feletti vektortér szabad modulus.
• Egy kommutatív egységelemes R gyűrű feletti ${\displaystyle R[X]}$ polinomgyűrű szabad R-modulus, amiben az X hatványai bázist alkotnak.
• Az egész számok ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ gyűrűje feletti modulusok pontosan az Abel-csoportok, így a szabad ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-modulusok pontosan a szabad Abel-csoportok.

Tulajdonságok

• Minden szabad modulus projektív. Valóban, egy P modulus pontosan akkor projektív, ha direkt összeadandója egy F szabad modulusnak, azaz ha létezik olyan Q (szükségképpen projektív) modulus, hogy ${\displaystyle P\oplus Q=F}$. Főideálgyűrűk felett a megfordítás is igaz: minden végesen generált projektív modulus szabad.

Források

• Serge Lang (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer. ISBN 038795385X., Chapter III, §4
• Kiss Emil (2007). Bevezetés az algebrába. TypoTeX. ISBN 978-963-2791-13-5., 7. fejezet