E6 (matematica)

In matematica, E₆ è la sigla che contraddistingue un gruppo di Lie e la sua algebra di Lie ${\mathfrak {e}}_{6}$ . Il gruppo E6 è uno dei cinque gruppi di Lie semplici eccezionali e uno dei gruppi semplicemente allacciati.

E₆ ha rango 6 e dimensione 78. Il suo centro è il gruppo ciclico Z₃. Il suo gruppo di automorfismo esterno è il gruppo ciclico Z₂. La sua rappresentazione fondamentale ha 27 dimensioni (complesse) e la sua rappresentazione duale, che non è equivalente alla precedente, ha anch'essa 27 dimensioni.

Nella fisica delle particelle E₆ gioca un ruolo di rilievo in alcune grandi teorie unificate.

Algebra

Diagramma di Dynkin

Radici di E₆

Sebbene generino uno spazio a sei dimensioni, possono essere considerati meglio e in modo più simmetrico come vettori di un sottospazio a sei dimensioni di uno spazio di dimensione nove. Come radici si possono considerare

(1,-1,0;0,0,0;0,0,0), (-1,1,0;0,0,0;0,0,0),

(-1,0,1;0,0,0;0,0,0), (1,0,-1;0,0,0;0,0,0),

(0,1,-1;0,0,0;0,0,0), (0,-1,1;0,0,0;0,0,0),

(0,0,0;1,-1,0;0,0,0), (0,0,0;-1,1,0;0,0,0),

(0,0,0;-1,0,1;0,0,0), (0,0,0;1,0,-1;0,0,0),

(0,0,0;0,1,-1;0,0,0), (0,0,0;0,-1,1;0,0,0),

(0,0,0;0,0,0;1,-1,0), (0,0,0;0,0,0;-1,1,0),

(0,0,0;0,0,0;-1,0,1), (0,0,0;0,0,0;1,0,-1),

(0,0,0;0,0,0;0,1,-1), (0,0,0;0,0,0;0,-1,1),

più tutte le 27 combinazioni di $(\mathbf {3$ dove $\mathbf {3}$ è una delle terne $\left({\frac {2}{3}},-{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{3}}\right)$ , $\left(-{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},-{\frac {1}{3}}\right)$ , $\left(-{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\right)$ ,

più tutte le 27 combinazioni di $(\mathbf {\bar {3}$ dove $\mathbf {\bar {3}}$ è una delle terne $\left(-{\frac {2}{3}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{3}}\right)$ , $\left({\frac {1}{3}},-{\frac {2}{3}},{\frac {1}{3}}\right)$ , $\left({\frac {1}{3}},{\frac {1}{3}},-{\frac {2}{3}}\right)$ .