Equazione biarmonica

In matematica, l'equazione biarmonica è un'equazione differenziale alle derivate parziali del quarto ordine utilizzata frequentemente nella meccanica del continuo. Una soluzione dell'equazione biarmonica è detta funzione biarmonica; ogni funzione biarmonica è una funzione armonica, ma non vale il viceversa.

L'equazione

L'equazione biarmonica ha la forma:

${\displaystyle \nabla ^{4}\varphi =0}$

oppure:

${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}\varphi =0}$

o anche:

${\displaystyle \Delta ^{2}\varphi =0}$

dove ${\displaystyle \nabla ^{4}}$ è la quarta potenza dell'operatore nabla, cioè il quadrato del laplaciano ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ (indicato anche con ${\displaystyle \Delta }$). Un tale operatore differenziale è anche detto operatore bilaplaciano o operatore biarmonico. In una diversa notazione può essere scritto in ${\displaystyle n}$ dimensioni come:

${\displaystyle \nabla ^{4}\varphi =\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\partial _{i}\partial _{i}\partial _{j}\partial _{j}\varphi }$

Ad esempio, nel caso tridimensionale e in coordinate cartesiane:

${\displaystyle {\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{4}}+{\partial ^{4}\varphi \over \partial y^{4}}+{\partial ^{4}\varphi \over \partial z^{4}}+2{\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{2}\partial y^{2}}+2{\partial ^{4}\varphi \over \partial y^{2}\partial z^{2}}+2{\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{2}\partial z^{2}}=0}$

Un altro esempio in ${\displaystyle n}$ dimensioni si trova considerando:

${\displaystyle \nabla ^{4}\left({1 \over r}\right)={3(15-8n+n^{2}) \over r^{5}}}$

dove:

${\displaystyle r={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}}$

Per i soli valori ${\displaystyle n=3}$ e ${\displaystyle n=5}$ diventa l'equazione biarmonica.

Equazione in due dimensioni

In coordinate polari bidimensionali l'equazione biarmonica assume la forma:

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial \varphi }{\partial r}}\right)\right)\right)+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{4}\varphi }{\partial \theta ^{2}\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{4}\varphi }{\partial \theta ^{4}}}-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {\partial ^{3}\varphi }{\partial \theta ^{2}\partial r}}+{\frac {4}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \theta ^{2}}}=0}$

e può essere risolta tramite separazione delle variabili, ottenendo la soluzione di Michell.

La soluzione generale in due dimensioni è:

${\displaystyle xv(x,y)-yu(x,y)+w(x,y)}$

dove ${\displaystyle u(x,y)}$, ${\displaystyle v(x,y)}$ e ${\displaystyle w(x,y)}$ sono funzioni armoniche e ${\displaystyle v(x,y)}$ è l'armonica coniugata di ${\displaystyle u(x,y)}$.

La forma generale per una funzione biarmonica in due variabili si può scrivere anche come:

${\displaystyle \operatorname {Im} ({\bar {z}}f(z)+g(z))}$

dove ${\displaystyle f(z)}$ e ${\displaystyle g(z)}$ sono funzioni analitiche.

Bibliografia

• (EN) Eric W Weisstein, CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, CRC Press, 2002. ISBN 1-58488-347-2.
• (EN) S I Hayek, Advanced Mathematical Methods in Science and Engineering, Marcel Dekker, 2000. ISBN 0-8247-0466-5.
• (EN) J P Den Hartog, Advanced Strength of Materials, Courier Dover Publications, Jul 1, 1987, ISBN 0-486-65407-9.

Voci correlate

• Equazione di Laplace
• Funzione armonica
• Operatore di Laplace
• Teoria del potenziale

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Biharmonic Equation, su MathWorld, Wolfram Research.

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