Operatore di d'Alembert

L'operatore di d'Alembert (rappresentato con un quadrato: $◻$ ), anche chiamato operatore dalembertiano dal nome di Jean Baptiste Le Rond d'Alembert oppure operatore delle onde, è l'estensione dell'operatore di Laplace nello spazio di Minkowski e di altre soluzioni delle equazioni di Einstein. È impiegato nella teoria delle onde, nell'elettromagnetismo e nella relatività speciale e generale.

In meccanica classica l'operatore dalembertiano si scrive:

◻ = \partial_{x}^{2} + \partial_{y}^{2} + \partial_{z}^{2} - \frac{1}{v^{2}} \partial_{t}^{2} = \nabla^{2} - \frac{1}{v^{2}} \partial_{t}^{2}

dove v è la velocità dell'onda e $\nabla^{2} = Δ$ è l'operatore di Laplace. Nella relatività ristretta il dalembertiano prende la forma:

◻ = \partial^{μ} \partial_{μ} = η^{ν μ} \partial_{ν} \partial_{μ} = - \partial_{0}^{2} + \partial_{1}^{2} + \partial_{2}^{2} + \partial_{3}^{2} = Δ - \frac{1}{c^{2}} \partial_{t}^{2}

dove $Δ$ è il laplaciano ed $η^{μ ν}$ è il tensore metrico dello spazio-tempo di Minkowski con la segnatura $(- 1, 1, 1, 1)$ . È immediato verificare che il dalembertiano è un operatore invariante sotto trasformazioni di Lorentz e perciò non varia le proprietà di trasformazione dei tensori a cui è applicato.

Altre notazioni

Oltre al simbolo $◻$ (quadrato) è spesso usato per l'operatore d'Alembertiano anche il simbolo $Δ_{𝐌}$ , in analogia con il laplaciano ( $𝐌$ sta ad indicare lo spazio di Minkowski), oppure il simbolo $◻^{2}$ . A volte $◻$ è usato per rappresentare la derivata covariante quadri-dimensionale di Levi-Civita. Il simbolo $\nabla$ (nabla) è usato invece per rappresentare le derivate spaziali, ma dipendente dalle coordinate.

Un altro modo per scrivere l'operatore d'Alembertiano è $\partial^{2}$ . La notazione è comoda in teoria quantistica dei campi dove le derivate parziali sono di solito indicizzate.

Note

↑ Operatore di d'Alembert, in Treccani.it – Enciclopedie on line, Roma, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.

Voci correlate

Collegamenti esterni

dalembertiano, operatore, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.

Alembert (d'), operatore di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

(EN) Eric W. Weisstein, d'Alembertian, su MathWorld, Wolfram Research.

(EN) Operatore di d'Alembert, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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[1] Operatore di d'Alembert, in Treccani.it – Enciclopedie on line, Roma, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.