Corpo con manici

In geometria, un corpo con manici è uno spazio topologico ottenuto agganciando alcuni "manici" alla palla tridimensionale.

Si tratta di un oggetto usato in topologia della dimensione bassa, specialmente nello studio delle 3-varietà.

Definizione

Un corpo con $k$ manici è una particolare 3-varietà con bordo. Può essere definita in modo equivalente in uno dei modi seguenti:

una 3-varietà con bordo $M$ contenente $k$ dischi disgiunti propriamente immersi $D_{1}, \dots, D_{k}$ tali che la varietà ottenuta tagliando $M$ lungo questi è omeomorfa al disco

D = {x \in ℝ^{3} | | x | \leq 1} .

la 3-varietà con bordo $M$ ottenuta scegliendo nel bordo $\partial D$ del disco $2 k$ dischi 2-dimensionali disgiunti e incollandoli a coppie;
la somma connessa al bordo di $k$ oggetti, che possono essere tori solidi e bottiglie di Klein solide.

Il numero $k$ è il genere del corpo con manici.

Orientabilità

Il corpo con manici è orientabile se è soddisfatta una di queste richieste equivalenti:

Il corpo con manici è omeomorfo ad un sottoinsieme di $ℝ^{3}$ .
Il corpo è ottenuto incollando dischi tramite mappe che invertono l'orientazione.
Il corpo è somma connessa di soli tori solidi

Spesso per "corpo con manici" si intende implicitamente un corpo con manici orientabile.

Proprietà

Un corpo con manici è uno spazio compatto.

Bordo

Il bordo del corpo con manici di genere $k$ è una superficie compatta e senza bordo. Se il corpo è orientabile, la superficie è orientabile e di genere $k$ . Altrimenti la superficie è non orientabile e di genere $2 k$ .

Equivalenza omotopica

Un corpo con manici di genere $k$ è omotopicamente equivalente ad un grafo. La sua caratteristica di Eulero è $1 - k$ .

Voci correlate

Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Handlebody, su MathWorld, Wolfram Research.

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