Reticolo reciproco

In geometria e in cristallografia il reticolo reciproco è un concetto associato ai solidi dotati di simmetria traslazionale, che gioca un importante ruolo in campi come la diffrazione elettronica e dei raggi X, e la struttura a bande di un solido. Esso scaturisce dalla trasformata di Fourier del reticolo associato alla disposizione degli atomi. Il reticolo diretto o reale è una funzione periodica nello spazio fisico, per esempio un sistema cristallino (solitamente un reticolo di Bravais). Il reticolo reciproco è un oggetto che esiste nello spazio matematico dei numeri d’onda k, chiamato spazio reciproco o spazio k; questo è il duale dello spazio fisico considerato come spazio vettoriale.

Il reticolo reciproco di un reticolo di Bravais è un insieme di vettori $𝐤$ che generano un reticolo di Bravais nello spazio k. L'onda piana di vettore d'onda $𝐤$ ha la stessa periodicità del reticolo di partenza.

Definizione

Consideriamo un insieme di punti $𝐑$ che costituiscono un reticolo di Bravais ed un'onda piana $f (𝐫) = e^{i 𝐤 \cdot 𝐫}$ . Per alcuni valori di $𝐤$ , otteniamo delle onde piane che hanno la periodicità del reticolo di Bravais. L'insieme $𝐊$ dei vettori d'onda che descrivono onde piane con la periodicità del reticolo di Bravais si chiama reticolo reciproco. Tale condizione da un punto di vista algebrico corrisponde a scrivere:

e^{i 𝐊 \cdot (𝐫 + 𝐑)} = e^{i 𝐊 \cdot 𝐫}

Dovendo tale relazione valere per qualsiasi $𝐫$ , segue che l'insieme dei vettori del reticolo reciproco soddisfa la relazione:

e^{i 𝐊 \cdot 𝐑} = 1

per tutti i punti $𝐑$ del reticolo di Bravais.

Ad ogni reticolo di Bravais possiamo associare un reticolo reciproco in maniera univoca. Il reticolo di Bravais che determina un certo reticolo reciproco è spesso chiamato reticolo diretto, quando considerato assieme al suo reciproco. Il reticolo reciproco è a sua volta un reticolo di Bravais nello spazio dei vettori d'onda. Il reticolo reciproco del reticolo reciproco è il reticolo di Bravais originale.

Essendo il reticolo reciproco un reticolo di Bravais, possiamo scrivere da un punto di vista algebrico che:

𝐊 = m_{1} 𝐛_{1} + m_{2} 𝐛_{2} + m_{3} 𝐛_{3}

dove $m_{i}$ sono numeri interi e $𝐛_{i}$ sono i vettori primitivi del reticolo reciproco. I vettori del reticolo reciproco hanno la dimensione di una ${lunghezza}^{- 1}$ .

Per un reticolo infinito tridimensionale definito dai suoi vettori primitivi $(𝐚_{𝟏}, 𝐚_{𝟐}, 𝐚_{𝟑})$ (che non sono univoci), esiste un algoritmo semplice che permette di ricavare i vettori primitivi dello spazio reciproco:

𝐛_{𝟏} = 2 π \frac{𝐚_{𝟐} \times 𝐚_{𝟑}}{𝐚_{𝟏} \cdot (𝐚_{𝟐} \times 𝐚_{𝟑})}

𝐛_{𝟐} = 2 π \frac{𝐚_{𝟑} \times 𝐚_{𝟏}}{𝐚_{𝟏} \cdot (𝐚_{𝟐} \times 𝐚_{𝟑})}

𝐛_{𝟑} = 2 π \frac{𝐚_{𝟏} \times 𝐚_{𝟐}}{𝐚_{𝟏} \cdot (𝐚_{𝟐} \times 𝐚_{𝟑})} .

I vettori del reticolo reciproco sono legati alle famiglie di piani reticolari.

Esempi di reticoli reciproci

Cubico semplice

Se si scelgono come vettori primitivi dello spazio diretto

𝐚_{𝟏} = a 𝐢 𝐚_{𝟐} = a 𝐣 𝐚_{𝟑} = a 𝐤

Allora essendo:

V = 𝐚_{𝟏} \cdot (𝐚_{𝟐} \times 𝐚_{𝟑}) = a^{3}

i vettori primitivi dello spazio reciproco sono:

𝐛_{𝟏} = \frac{2 π}{a} 𝐢 𝐛_{𝟐} = \frac{2 π}{a} 𝐣 𝐛_{𝟑} = \frac{2 π}{a} 𝐤

Cioè il reticolo reciproco è cubico semplice come il reticolo dello spazio diretto, ma con passo reticolare $2 π / a$ .

Reticolo cubico a corpo centrato

Se si scelgono come vettori primitivi dello spazio diretto (tale scelta è quella più simmetrica):

𝐚_{𝟏} = \frac{a}{2} (𝐣 + 𝐤 - 𝐢)

𝐚_{𝟐} = \frac{a}{2} (𝐤 + 𝐢 - 𝐣)

𝐚_{𝟑} = \frac{a}{2} (𝐢 + 𝐣 - 𝐤)

in questo caso i vettori primitivi del reticolo reciproco saranno:

𝐛_{𝟏} = \frac{2 π}{a} (𝐣 + 𝐤)

𝐛_{𝟐} = \frac{2 π}{a} (𝐤 + 𝐢)

𝐛_{𝟑} = \frac{2 π}{a} (𝐢 + 𝐣)

Reticolo cubico a facce centrate

Se si scelgono come vettori primitivi dello spazio diretto:

𝐚_{𝟏} = \frac{a}{2} (𝐣 + 𝐤)

𝐚_{𝟐} = \frac{a}{2} (𝐤 + 𝐢)

𝐚_{𝟑} = \frac{a}{2} (𝐢 + 𝐣)

in questo caso i vettori primitivi del reticolo reciproco saranno:

𝐛_{𝟏} = \frac{2 π}{a} (𝐣 + 𝐤 - 𝐢)

𝐛_{𝟐} = \frac{2 π}{a} (𝐤 + 𝐢 - 𝐣)

𝐛_{𝟑} = \frac{2 π}{a} (𝐢 + 𝐣 - 𝐤)

Cioè il reticolo reciproco dell'fcc è un bcc, mentre del bcc è un fcc, entrambi con passo reticolare $4 π / a$ .

Bibliografia

Neil W. Ashcroft e N. David Mermin, Solid State Physics, Holt-Saunders Japan, 1976, ISBN 0-03-049346-3.

Voci correlate

Altri progetti

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Collegamenti esterni

(EN) Dissemination of IT for the Promotion of Materials Science (DoITPoMS), "Reciprocal Space", su doitpoms.ac.uk.

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