Stella di piani

Questa voce o sezione sull'argomento geometria non cita le fonti necessarie o quelle presenti sono insufficienti.

---

Puoi migliorare questa voce aggiungendo citazioni da fonti attendibili secondo le linee guida sull'uso delle fonti. Segui i suggerimenti del progetto di riferimento.

In geometria, una stella di piani propria è l'insieme degli infiniti piani che hanno in comune un solo punto, detto centro della stella. Per contro una stella di piani impropria è l'insieme degli infiniti piani paralleli a una retta assegnata r.

Equazione della stella di piani

L'equazione di una stella di piani corrisponde a quella di un piano, in cui i coefficienti dipendono da due parametri liberi di primo grado ${\displaystyle h}$ e ${\displaystyle k}$; ogni possibile valore della coppia di parametri determina un unico piano della stella.

${\displaystyle a(h,k)x+b(h,k)y+c(h,k)z+d(h,k)=0}$.

È sempre possibile eseguire un raccoglimento parziale dei parametri ${\displaystyle k}$ in modo da separare l'equazione come segue:

${\displaystyle a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}+h(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2})+k(a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z+d_{3})=0}$;

i tre piani:

${\displaystyle {\begin{matrix}\Pi _{1}:&a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0\\\Pi _{2}:&a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0\\\Pi _{3}:&a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z+d_{3}=0\end{matrix}}}$

sono detti generatori della stella.

Il piano ${\displaystyle \Pi _{1}}$ si ottiene per ${\displaystyle h=k=0}$, mentre ${\displaystyle \Pi _{2}}$ e ${\displaystyle \Pi _{3}}$, pur appartenendo alla stella, non sono ricavabili per alcun valore reale dei parametri, si possono solamente approssimare tramite i piani ottenuti per valori molto grandi di ${\displaystyle h}$ e ${\displaystyle k}$.

A seconda della posizione reciproca dei tre piani generatori, si possono verificare diverse situazioni:

• i tre piani si incontrano in un unico punto ${\displaystyle P}$; la stella è detta propria e tutti i piani che le appartengono passano per ${\displaystyle P}$;

• i piani sono tutti paralleli ad una retta ${\displaystyle r}$ (pur incontrandosi a due a due): la stella è detta impropria e tutti i piani che le appartengono sono paralleli a ${\displaystyle r}$;

• i piani sono paralleli fra di loro e hanno in comune la stessa normale: la stella è detta impropria e tutti piani che le appartengono sono paralleli fra di loro.

Combinazione lineare di piani

La definizione più generale di stella di piani utilizza due parametri reali proiettivi: la sua equazione è data dalla combinazione lineare delle equazioni dei tre piani generatori:

${\displaystyle \lambda (a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1})+\mu (a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2})+\nu (a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z+d_{3})=0\;}$,

dove ${\displaystyle \lambda }$, ${\displaystyle \mu }$ e ${\displaystyle \nu }$ sono tre parametri reali non tutti nulli.

A differenza delle precedenti equazioni, quest'ultima contiene tutti i piani della stella. Ogni terna ${\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )\;}$ con lo stesso rapporto ${\displaystyle \lambda$ :\mu :\nu \;} individua lo stesso fascio. Se, ad esempio, ${\displaystyle \nu \neq 0}$, possiamo utilizzare i due parametri ${\displaystyle h={\frac {\lambda }{\nu }}}$ e ${\displaystyle k={\frac {\mu }{\nu }}}$ per caratterizzare il fascio. La terna di parametri si può allora considerare come un unico parametro nel piano proiettivo ${\displaystyle [\lambda ,\mu ,\nu ]\in \mathbb {P} ^{2}}$.

Altri insiemi ottenibili dalla stella di piani

• fissando uno dei parametri liberi, si ottiene un fascio di piani;
• sezionando una stella di piani con un piano passante per il centro di tale stella, si ottiene un fascio di rette.

Voci correlate

• Fascio di piani
• Stella di rette
• Fascio di rette
• Coordinate omogenee

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica