Dodicesimo di tredici figli, rimase orfano di madre a tre anni. Il padre si risposò e fu allevato dalla matrigna.
Entrò al seminario minore di Zagabria e frequentò poi il seminario minore e maggiore di Đakovo. Fu ordinato presbitero il 29 giugno 1970 e incardinato nella diocesi di Banja Luka, dove rimase fino al 1978. Da quell'anno si trasferì nell'arcidiocesi di Zara, dove fu direttore spirituale del seminario minore. Nel 1990 si trasferì a Sarajevo come vicerettore del seminario.
È arcivescovo di Sarajevo dal 19 novembre 1990, mentre ha ricevuto la consacrazione episcopale dalle mani di papa Giovanni Paolo II il 6 gennaio 1991. Dopo un anno dalla sua nomina, in Bosnia iniziarono i combattimenti. Durante l'assedio di Sarajevo si distinse per accorati appelli di pace e di difesa dei diritti inalienabili della persona umana, rischiando anche la vita. Fu imprigionato per 12 ore dai militari serbi.
Papa Giovanni Paolo II lo ha innalzato alla dignità cardinalizia nel concistoro del 26 novembre 1994, a 49 anni, anche come segno di vicinanza alle popolazioni colpite dal conflitto armato. Tra i cardinali creati da Giovanni Paolo II è preceduto solo da Alfonso López Trujillo, elevato cardinale a 48 anni nel 1983. È il secondo cardinale bosniaco della storia, è preceduto solo da Guido Del Mestri. Ha il titolo di Santa Chiara a Vigna Clara.
Il cardinale Puljić abbraccia Giovanni Paolo II durante la messa presieduta dal Santo Padre il 13 aprile 1997 a Sarajevo in occasione del suo viaggio apostolico in Bosnia-Erzegovina
Il 29 gennaio 2022 papa Francesco ha accolto la sua rinuncia al governo pastorale dell'arcidiocesi di Sarajevo, presentata per raggiunti limiti di età; gli è succeduto l'arcivescovo coadiutoreTomo Vukšić. Lo stesso giorno lascia la presidenza della conferenza episcopale.
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