連続線型拡張

数学の関数解析学の分野における連続線型拡張（れんぞくせんけいかくちょう、英: continuous linear extension）とは、次に述べる手順のことを指す：

完備なノルム線型空間 ${\displaystyle X}$上にある線型変換を定義する時、初めに ${\displaystyle X}$内の稠密な部分集合上に線型変換 ${\displaystyle T}$を定義し、その後、後述の定理によって、${\displaystyle T}$を全空間へと拡張することが便利となることが、しばしばある。この結果として得られる拡張は線型かつ有界（したがって、連続）である。

以下のBLT定理が知られている。なお「BLT定理」という名称は有界線型変換（Bounded Linear Transformation）による。

定理の後半のノルムに関する部分は前半から明らかに従う。

一例として、リーマン積分の定義について考える。ある閉区間 ${\displaystyle [a,b]}$上の階段関数は、次の形式で記述される：

${\displaystyle f\equiv r_{1}{\mathit {1}}_{[a,x_{1})}+r_{2}{\mathit {1}}_{[x_{1},x_{2})}+\cdots +r_{n}{\mathit {1}}_{[x_{n-1},b]}.}$

ここで ${\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{n}}$は実数であり、${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\ldots <x_{n-1}<x_{n}=b}$とし、${\displaystyle {\mathit {1}}_{S}}$は集合 ${\displaystyle S}$の指示���数を表す。${\displaystyle [a,b]}$上のすべての階段関数からなる空間に ${\displaystyle L^{\infty }}$ノルム（Lp空間を参照）を備えたものはノルム線型空間であり、ここではそれを ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$と表す。階段関数の積分を、次のように定義する：

${\displaystyle {\mathsf {I}}\left(\sum _{i=1}^{n}r_{i}{\mathit {1}}_{[x_{i-1},x_{i})}\right)=\sum _{i=1}^{n}r_{i}(x_{i}-x_{i-1}).}$

このとき、関数としての ${\displaystyle {\mathsf {I}}}$は、${\displaystyle {\mathcal {S}}}$から ${\displaystyle \mathbb {R} }$への有界線型変換である。

${\displaystyle L^{\infty }}$ノルムについて右側連続であるような、${\displaystyle [a,b]}$上の区分的連続かつ有界関数からなる空間を、${\displaystyle {\mathcal {PC}}}$で表す。上述の空間 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$は、${\displaystyle {\mathcal {PC}}}$において稠密であるため、BLT定理を応用することが出来る。結果として線型変換 ${\displaystyle {\mathsf {I}}}$は、${\displaystyle {\mathcal {PC}}}$から ${\displaystyle \mathbb {R} }$への有界線型変換 ${\displaystyle {\tilde {\mathsf {I}}}}$へと拡張される。これにより、${\displaystyle {\mathcal {PC}}}$内のすべての関数についてリーマン積分を定義することが出来る。すなわち、すべての ${\displaystyle f\in {\mathcal {PC}}}$に対して、そのリーマン積分は

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx={\tilde {\mathsf {I}}}(f)}$

で定義される。

上述の定理によって、有界線型変換 ${\displaystyle T:S\rightarrow Y}$を、「${\displaystyle S}$が ${\displaystyle X}$において稠密であるなら」、${\displaystyle {\bar {S}}=X}$から ${\displaystyle Y}$へのある有界線型変換へと拡張することが出来た。${\displaystyle S}$が ${\displaystyle X}$において稠密でない場合、ハーン＝バナッハの定理を使うことで、ある拡張が存在することを示すことが出来る場合もある。しかし、そのような拡張は必ずしも一意ではない。

• Reed, Michael; Barry Simon (1980). Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis. San Diego: Academic Press.ISBN 0-12-585050-6